Главная страница
Навигация по странице:

  • Обозначение производных второго порядка

  • Теорема

  • Теорема (достаточное условие экстремума для функции 2-х переменных).

  • МатематикаШпоры. 1 Обозначим через d некоторое множество точек в п


    Скачать 0.99 Mb.
    Название1 Обозначим через d некоторое множество точек в п
    АнкорМатематикаШпоры.docx
    Дата02.05.2017
    Размер0.99 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаМатематикаШпоры.docx
    ТипЗакон
    #981
    страница1 из 2
      1   2

    1)Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.Если задан закон f, в силу которого каждой точке М(х;...;х)D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве Dопределена функция и=f(х;...;х).Множество точек М(х;...;х), для которых функция и=f(х;...;х) определена, называют областью определенияэтой функции и обозначают D(f).Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Охуназывается геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у). Необходимые условия дифференцируемости функции.необходимое условиеТеорема. Если функция z=f(x, y) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точкенепрерывна. Если в точке (x, y) функция z=f(x, y) дифференцируема, то полное приращение функции zв этой точке, отвечающее приращениям ∆x и ∆y аргументов, можно представить в виде ∆z=A∆x+B∆y+α(∆x, ∆y)∆x+β(∆x, ∆y)∆yДостаточное условиеТеорема. Если функция z=f(x, y) имеет частные производные fx/и fy/в некоторойокрестности точки (x0, y0) и если эти производные непрерывны в самой точке (x0, y0), тофункция z=f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0). Частные производные. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М)<, называют -окрестностью точки М.Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину,которая называется частичным приращением функции z=f(x;упо переменной х.Аналогично величину называют частичным приращением функции по переменной у.Если существует предел,то его называют частной производной функции z=f(x;ув точке М (x;упо переменной х



    39,26,31




    2) Обозначим через (М;М) расстояние между точками М иМ. Если п=2, М(х;у), М(х;у), то(М;М)=.

    В п-мерном пространстве(М;М)=.

    Пусть на множестве Dзадано функцию и=f(М).

    Число Аназывается пределом функции и=f(М) в точке М, если для произвольного числа >0 найдётся такое число >0, что для всех точек МD, которые удовлетворяют условию 0<(М;М)<, выполняется неравенство.

    Заметим, что если предел существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М.

    Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М, если= f(М).Функция и=f(М) называется непрерывной на множествеD,если она непрерывна в каждой точке МD.Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z=имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе








    3)Теорема. Пустьu  = f (х, у) задана в области D и пустьх = х(t ) иу = у(t ) определены в области http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2170.gif,  причём, когдаhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2171.gifто х и у принадлежат области DПусть функция u дифференцируема в  точке M0(x0,y0,z0),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то  сложная функция u = f[x(t),y(t)]=F (t)дифференцируема в точке t0и имеет место равенство:http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2172.gif.Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x0y0), то её полное приращение представляется в видеhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2173.gif.Разделив это соотношение наhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2174.gif , получим:http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2175.gif.Перейдём к пределу при http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2176.gif и получим формулhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2172.gif.Замечание 1. Если u(x, y) и xy(x), то полная производная функции uпо переменной хhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2177.gifили http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema14/image2178.gif.








    4) Пусть в некоторой области D задана функция http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gif и точка http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_3.gif. Проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_6.gif. На векторе , на расстоянии  от его начала рассмотрим точку http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_8.gif, т.е. http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_9.gif.Будем предполагать, что функция http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gif и ее частные производные первого порядка непрерывны в области D.Предел отношения  при называется производной от функцииhttp://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gifв точкеhttp://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_3.gifпо направлению вектора  и обозначается , т.е.http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_13.gif .Для нахождения производной от функцииhttp://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gif в заданной точке http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_14.gifпо направлению вектора http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_15.gif используют формулу:http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_16.gif,
    где http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_6.gif – направляющие косинусы вектора http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_15.gif, которые вычисляются по формулам:
    http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_17.gif.Пусть в каждой точке некоторой области  D задана функция http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gif.Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gif и обозначается http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_18.gif или  (читается «набла у»): http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_20.gif.При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов.Для нахождения градиента функции http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_2.gif в заданной точке http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_14.gif используют формулу:
    http://pgsksaa07.narod.ru/images/examples/examples_gradient/theory/th_21.gif.








    5) Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением z=f(x, y), где f(x, y) –

    функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там частные производные по x и

    по y. Выясним геометрический смысл этих производных в точке M0(x0, y0)∈D, которой на

    поверхности z=f(x, y) соответствует точка N0(x0, y0, f(x0, y0)).

    При нахождении частной производной ∂z/∂ x

    в точке М0 мы полагаем, что z является только

    функцией аргумента x, тогда как аргумент y сохраняет постоянное значение y=y0, то есть

    z=f(x, y0)=f1(x).









    6)частные производные Пусть f(x, y) — функция двух переменных x, y, определена в некоторой окрестности точки (x0, y0). Если существует конечный предел image106.gif (533 bytes),то функция f(x, y) имеет в точке (x0, y0 ) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная функции f(x1, x2, …, xn) по переменной xi :image108.gif (835 bytes)Обозначают:,. 

    Дифференциал Пусть функция двух независимых переменных     u = f (х, у)    имеет частные производные:http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2241.gifhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2242.gif.

    Это, в свою очередь, снова функции двух переменных, которые снова можно дифференцировать, и определяются эти новые производные по той же схеме. Например:http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2244.gif,

    http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2245.gif. И так далее …

    Обозначение производных второго порядка:http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2246.gif

    http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2247.gif

           Последние две производные называются смешанными.

    Теорема (о равенстве смешанных производных).
    Пусть имеем функцию f(х, у). Если в окрестности точки M0 (x0, y0)существуют смешанные  производные http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2248.gifиhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2248.gif, непрерывные в точке M0, то они в этой точке равны. То естьhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2248.gif=http://kurs.ido.tpu.ru/courses/ingmathsem2/tema16-17/image2248.gif.








    7) Неявные функции многих переменных.Определение. Неявная функция, заданная уравнением F(x1,x2,…,xn,y)=0 (или кратко F(x,y)=0) определяется, как функция y=f(x)=f(x1,x2,…,xn) при подстановке которой в уравнение, оно превращается в тождество на некотором множествеF(x1,x2,…,xn, f(x1,x2,…,xn))=0 , или кратко, F(x,f(x))=0 при xD.

    Теорема 2. Пусть

    F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U(M0) точки M0(x0,y0), x0=

    F(M0)=0,

    .

    Тогда существует окрестность U(x0) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f(x), такая, что

     x U(x0) : F(x,f(x))=0 и y0 = f(x0).

    Эта функция дифференцируема в точке x0 и ее производные определяется по формуле

    http://fishlp.ru/alg1/1/image535.gif.








    8) Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функцияf(x:y), определенная в окрестности точки , имеет в точке частные производные и .

    Тогда, для того, чтобы функция имела в локальный экстремум, необходимо, чтобы все частные производные в этой точке обращались в ноль.

    Теорема (достаточное условие экстремума для функции 2-х переменных). Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно в окрестности точки , и пусть - критическая точка функции .Тогда, если в тейлоровском разложении



    Функции в точке квадратичная формаположительно определена, то в точке функция имеет локальный минимум, если отрицательно определена, то локальный максимум, если же квадратичная форма принимает значения разных знаков, то экстремум отсутствует.








    9) Метод наименьших квадратов является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=y_t.

    Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

    y= a+ aх1t +...+ an хnt + εt .

    Исходными данными при оценке параметров a, a,..., an является вектор значений зависимой переменной y = (y1 , y2 , ... , y)' и матрица значений независимых переменных

    http://www.grandars.ru/images/1/review/id/1057/61b8c6dc82.jpg

    в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

    Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.








    10) Теорема 1. Если  и  — две  первообразные для функции f(х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. 
    Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х) данной  функции f(х), то все множество первообразных для f(х) исчерпывается функциями F (х) + С
    Выражение F (х) + С, где F (х) —  первообразная функции f(х) и С — произвольная  постоянная, называетсянеопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается символом int(f(x), x)
    причем f(х) называется подынтегральной функцией ; 
    http://webmath.exponenta.ru/bsd/sp/images/m_1001.gif — подынтегральным выражением







    11) Свойство 1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть если        , то http://www.kvadromir.com/math/int/16.gif

    Свойство 2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению http://www.kvadromir.com/math/int/17.gif

    Свойство 3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной константы 

    http://www.kvadromir.com/math/int/18.gif

    Свойство 4. Неопределённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов http://www.kvadromir.com/math/int/19.gif

    Свойство 5. Неопределённый интеграл от разности функций равен соответствующей разности неопределённых интегралов 

    http://www.kvadromir.com/math/int/20.gif


     Свойство 6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла http://www.kvadromir.com/math/int/21.gif


    Свойство 7. Если http://www.kvadromir.com/math/int/18.gifто 

    http://www.kvadromir.com/math/int/22.gif











    12)









    13 Свойство инвариантности формул интегрирования

    Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если    где  то  где  – любая дифференцируемая функция.

    Так, например, если  , то    где u  – функция от x








    14)  Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
         а) , где  – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ;
         б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: .
         Примеры.
         1. Найти интеграл .
         Решение. Перепишем данный интеграл в виде . Так как производная выражения  равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку . Тогда . Следовательно, 
         http://math.immf.ru/img/473.gif. 2. Найти интеграл . Решение. , тогда  и 
         http://math.immf.ru/img/477.gif.







    15)   Пусть u = u(x) и v = v(x) суть две дифференцируемые функции, заданные на одном и том же промежутке [ab]. Тогда на этом промежутке будет

    (uv)' = u'v + uv'.Последнее равенство можно переписать в равносильной форме

    http://www.pm298.ru/mathem/ds0101108.jpghttp://www.pm298.ru/mathem/ds0201108.jpg

         Отсюда, замечая, что u'dx = du,  v'dx = dv, получаем:

    http://www.pm298.ru/mathem/ds0101109.jpghttp://www.pm298.ru/mathem/ds0201109.jpg     (1)

    причем произвольная постоянная, находившаяся в правой части, включена в интеграл http://www.pm298.ru/mathem/ds0101110.jpg. Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Она представляет собой некое тождественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно.







    16) Универсальная тригонометрическая подстановка


       Рассмотрим интеграл вида.   

      С помощью подстановкиинтеграл сводится к интегралу от рациональной функции. Действительно,

    http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/integr/htm_3/int_lek6.files/image027.gifhttp://glaznev.sibcity.ru/1kurs/integr/htm_3/int_lek6.files/image029.gif.

    И так какx = 2·arctg t, .

    то sinx, cosx, dx выражаются рационально через t и dt. Так как рациональная функция от рациональных функций есть рациональная функция, то, подставляя полученные выражения в интеграл (6.1), получим интеграл от рациональной функции

    http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/integr/htm_3/int_lek6.files/image035.gif.








    17)Интегрирование иррациональных функций





    Для интегрирования иррациональной функции, содержащей 

    http://www.math24.ru/images/5int1.gif используется подстановка http://www.math24.ru/images/5int2.gif

    Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию

    содержащую несколько рациональных степеней x, применяется

    подстановка в форме http://www.math24.ru/images/5int2.gif, где n полагается равным

    наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных

    степеней, входящих в данную функцию.Рациональная функция 

    x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида 

    http://www.math24.ru/images/5int3.gif, интегрируется с помощью подстановки 

    http://www.math24.ru/images/5int4.gif
      1   2
    написать администратору сайта