Главная страница
Навигация по странице:

  • Интенсивностью звука

  • ватт на метр в квадрате

  • (порог слышимости)

  • уровнем интенсивности звука

  • Эйлера уравнение Эйлера уравнение

  • УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ

  • Плотностью потока энергии

  • Удельное акустическое сопротивление

  • 1 звуковые волны. 1 звуковые волны. Звуковыми (или акустическими) волнами


    Скачать 139.97 Kb.
    Название1 звуковые волны. Звуковыми (или акустическими) волнами
    Анкор1 звуковые волны.docx
    Дата14.03.2019
    Размер139.97 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла1 звуковые волны.docx
    ТипДокументы
    #24953

    1 звуковые волны.

    Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами в пределах 16—20000 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают ощущение звука. Волны с < 16 Гц (инфразвуковые) и > 20 кГц (ультразвуковые) органами слуха человека не воспринимаются.

    Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, так как эти среды обладают упругостью лишь по отношению к деформациям сжатия (растяжения). В твердых телах звуковые волны могут быть как продольными, так и поперечными, так как твердые тела обладают упругостью по отношению к деформациям сжатия (растяжения) и сдвига.

    Интенсивностью звука (или силой звука) называется величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

    http://www.pppa.ru/additional/02phy/04/phy_kv_20.files/image002.gif

    Единица интенсивности звука в СИ — ватт на метр в квадрате (Вт/м2).

    Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, но если эта интенсивность превышает определенный предел, то звук не слышен и вызывает только болевое ощущение. Таким образом, для каждой частоты колебаний существуют наименьшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощущения) интенсивности звука, которые способны вызвать звуковое восприятие. На рис. 223 представлены зависимости порогов слышимости и болевого ощущения от частоты звука. Область, расположенная между этими двумя кривыми, является областью слышимости.

    http://www.pppa.ru/additional/02phy/04/phy_kv_20.files/image004.gif

    Если интенсивность звука является величиной, объективно характеризующей волновой процесс, то субъективной характеристикой звука, связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Согласно физиологическому закону Вебера — Фехнера, с ростом интенсивности звука громкость возрастает по логарифмическому закону. На этом основании вводят объективную оценку громкости звука по измеренному значению его интенсивности:

    http://www.pppa.ru/additional/02phy/04/phy_kv_20.files/image006.gif

    где I0 — интенсивность звука на пороге слышимости, принимаемая для всех звуков равной 10–12 Вт/м2. Величина L называется уровнем интенсивности звука и выражается в белах (в честь изобретателя телефона Белла). Обычно пользуются единицами, в 10 раз меньшими, — децибелами (дБ).

    Физиологической характеристикой звука является уровень громкости, который выражается в фонах (фон). Громкость для звука в 1000 Гц (частота стандартного чистого тона) равна 1 фон, если его уровень интенсивности равен 1 дБ. Например, шум в вагоне метро при большой скорости соответствует 90 фон, а шепот на расстоянии 1м — 20 фон.

    Реальный звук является наложением гармонических колебаний с большим набором частот, т. е. звук обладает акустическим спектром, который может быть сплошным (в некотором интервале присутствуют колебания всех частот) и линейчатым (присутствуют колебания отделенных друг от друга определенных частот).

    Звук характеризуется помимо громкости еще высотой и тембром. Высота звука — качество звука, определяемое человеком субъективно на слух и зависящее от частоты звука. С ростом частоты высота звука увеличивается, т. е. звук становится «выше». Характер акустического спектра и распределения энергии между определенными частотами определяет своеобразие звукового ощущения, называемое тембром звука. Так, различные певцы, берущие одну и ту же ноту, имеют различный акустический спектр, т. е. их голоса имеют различный тембр.

    Источником звука может быть всякое тело, колеблющееся в упругой среде со звуковой частотой (например, в струнных инструментах источником звука является струна, соединенная с корпусом инструмента).

    Совершая колебания, тело вызывает колебания прилегающих к нему частиц среды с такой же частотой. Состояние колебательного движения последовательно передается к все более удаленным от тела частицам среды, т. е. в среде распространяется волна с частотой колебаний, равной частоте ее источника, и с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды. Скорость распространения звуковых волн в газах вычисляется по формуле

    http://www.pppa.ru/additional/02phy/04/phy_kv_20.files/image008.gif                                                                       (158.1)

    где R молярная газовая постоянная, М — молярная масса, рV отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, Т — термодинамическая температура. Из формулы (158.1) вытекает, что скорость звука в газе не зависит от давления р газа, но возрастает с повышением температуры. Чем больше молярная масса газа, тем меньше в нем скорость звука. Например, при T=273 К скорость звука в воздухе (M=2910–3 кг/моль) v=331 м/с, в водороде   (M=210–3 кг/моль) v=1260 м/с. Выражение (158.1) соответствует опытным данным.

    При распространении звука в атмосфере необходимо учитывать целый ряд факторов: скорость и направление ветра, влажность воздуха, молекулярную структуру газовой среды, явления преломления и отражения звука на границе двух сред. Кроме того, любая реальная среда обладает вязкостью, поэтому наблюдается затухание звука, т. е. уменьшение его амплитуды и, следовательно, интенсивности звуковой волны по мере ее распространения. Затухание звука обусловлено в значительной мере его поглощением в среде, связанным с необратимым переходом звуковой энергии в другие формы энергии (в основном в тепловую).

    Для акустики помещений большое значение имеет реверберация звука — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после выключения его источника. Если помещения пустые, то происходит медленное затухание звука и создается «гулкость» помещения. Если звуки затухают быстро (при применении звукопоглощающих материалов), то они воспринимаются приглушенными. Время реверберации — это время, в течение которого интенсивность звука в помещении ослабляется в миллион раз, а его уровень — на 60 дБ. Помещение обладает хорошей акустикой, если время реверберации составляет 0,5—1,5 с.

    1 уравнение Эйлера.
    Эйлера уравнение

    Эйлера уравнение,

    1) дифференциальное уравнение вида

    http://slovari.yandex.ru/illustrations/bse/pictures/00000/00149.gif, (*)

    где ao,..., anпостоянные числа; при х>0 уравнение (*) подстановкой х = et сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Изучалось Л. Эйлером с 1740. К уравнению (*) сводится подстановкой x' = ax + b уравнение

    http://slovari.yandex.ru/illustrations/bse/pictures/00000/00150.gif.

    2) Дифференциальное уравнение вида

    http://slovari.yandex.ru/illustrations/bse/pictures/00000/00151.gif,

    где X (x) = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4, Y (y) = а0у41у32у23у +a4. Л. Эйлер рассматривал это уравнение в ряде работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение этого уравнения имеет вид F (х, у) = 0, где F (х, у) симметричный многочлен четвёртой степени от х и у. Этот результат Эйлера послужил основой теории эллиптических интегралов.

    3) Дифференциальное уравнение вида

    http://slovari.yandex.ru/illustrations/bse/pictures/00000/00152.gif'

    служащее в вариационном исчислении для разыскания экстремалей интеграла

    http://slovari.yandex.ru/illustrations/bse/pictures/00000/00153.gif.

    Выведено Л. Эйлером в 1744.

    2 Уравнение непрерывности.

    Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

    Содержание

    Дифференциальная форма


    Дифференциальная форма общего уравнения непрерывности такова:

    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = \sigma\,

    где



    • • — дивергенция,

    • t — время,

    • j — плотность потока (см. ниже),

    • σ — добавление q на единицу объёма в единицу времени. Члены, которые добавляют (σ > 0) или удаляют (σ < 0) q, называются «источниками» и «стоками» соответственно.

    Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье-Стокса.

    Если q — сохраняющаяся величина, которая не может быть создана или уничтожена (например, энергия), тогда σ = 0, и уравнение непрерывности принимает вид:

    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\,

    3 волновое уравнение для потенциала скоростей

    УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА СКОРОСТЕЙ

    1. Несжимаемая жидкость. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image1.gif

    Так как движение потенциально, то

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image2.gif

    Подставляя http://edu.sernam.ru/img_page/1.gifв уравнение неразрывности, получаем уравнение для потенциала скоростей несжимаемой жидкости

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image3.gif

    Уравнение для http://edu.sernam.ru/img_page/2.gifесть уравнение Лапласа.

    2. Сжимаемая жидкость. Рассматриваем безвихревое движение идеальной баротропной жидкости. Считаем, что массовые силы отсутствуют. В силу этих предположений можем написать

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image4.gif(9.1)

    Интеграл Лагранжа (9.3) заменяет уравнение Эйлера. К уравнениям (9.1), (9.2), (9.3) следует присоединить уравнение неразрывности

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image5.gif

    Наша задача — получить уравнение для потенциала скоростей http://edu.sernam.ru/img_page/3.gif.

    Из (9.1) следует, что

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image6.gif

    Из (9.2), вводя скорость звука http://edu.sernam.ru/img_page/4.gif, получаем

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image7.gif

    Уравнение неразрывности (9.4) согласно (9.5) и (9.6) можно переписать в виде

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image8.gif

    Из интеграла Лагранжа (9.3) следует

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image9.gif

    Подставим (9.8) в (9.7). С учетом равенства http://edu.sernam.ru/img_page/5.gifбудем иметь

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image10.gif

    Здесь

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image11.gif

    Из (9.3) следует, что р есть функция суммы http://edu.sernam.ru/img_page/6.gif. Следовательно, http://edu.sernam.ru/img_page/7.gifесть функция производных от http://edu.sernam.ru/img_page/8.gifТаким образом, уравнение (9.9) есть уравнение для потенциала скоростей http://edu.sernam.ru/img_page/9.gif.

    Введем в (9.9) выражение (9.10) для http://edu.sernam.ru/img_page/10.gif. Окончательно будем иметь

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image12.gif

    Частные производные второго порядка в уравнение (9.11) входят линейно, коэффициенты при них зависят от производных первого порядка. Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными. Уравнение http://edu.sernam.ru/img_page/11.gifслужит для нахождения http://edu.sernam.ru/img_page/12.gif. После того как http://edu.sernam.ru/img_page/13.gifнайдено, из (9.3) найдем р, а затем http://edu.sernam.ru/img_page/14.gif.

    Предположим, что движение установившееся. В этом случае http://edu.sernam.ru/img_page/15.gifи уравнение (9.11) для потенциала http://edu.sernam.ru/img_page/16.gifпринимает вид

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image13.gif

    Введем обозначение

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image14.gif

    и перепишем уравнение (9.12) в виде

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image15.gif

    ИЛИ

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image16.gif

    Обозначим определитель, составленный из коэффициентов http://edu.sernam.ru/img_page/17.gifчерез http://edu.sernam.ru/img_page/18.gif. В зависимости от знака D различают три типа уравнений (9.13): эллиптические уравнения, если http://edu.sernam.ru/img_page/19.gif; гиперболические уравнения, если http://edu.sernam.ru/img_page/20.gifпараболические, если D = 0. Непосредственно можно убедиться, что в нашем случае определитель D оказывается равным

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image17.gif

    Таким образом, уравнения являются эллиптическими, если http://edu.sernam.ru/img_page/21.gif, т. е. http://edu.sernam.ru/img_page/22.gif— скорость потока меньше скорости звука; уравнения гиперболические, если http://edu.sernam.ru/img_page/23.gif— скорость потока больше скорости звука.

    Частный случай. Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в сжимаемой жидкости.

    Пусть эти возмущения возникают в находящемся в равновесии покоящемся газе. Обозначим через http://edu.sernam.ru/img_page/24.gif, где http://edu.sernam.ru/img_page/25.gifпараметры газа при http://edu.sernam.ru/img_page/26.gif. Гидродинамические величины можно в этом случае записать в виде

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image18.gif

    где http://edu.sernam.ru/img_page/27.gif— малые возмущения скорости, давления и плотности. Так как рассматривается потенциальное движение, то http://edu.sernam.ru/img_page/28.gif, где http://edu.sernam.ru/img_page/29.gif— потенциал возмущенного движения http://edu.sernam.ru/img_page/30.gif. Отбрасывая в уравнении (9.11) члены, содержащие малые величины в степени выше первой, получаем

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image19.gif

    Уравнение (9.16) — классическое волновое уравнение. Величина http://edu.sernam.ru/img_page/31.gif— скорость распространения звука в покоящемся газе. Найдя http://edu.sernam.ru/img_page/32.gifиз решения (9.16), определим скорость http://edu.sernam.ru/img_page/33.gif. Определим давление, используя интеграл Лагранжа:

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image20.gif

    Так как жидкость баротропна, то http://edu.sernam.ru/img_page/34.gif, и можно найти р:

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image21.gif

    Давление и плотность также удовлетворяют волновому уравнению. В этом нетрудно убедиться, дифференцируя (9.16) по t и используя формулы (9.17) и (9.18). Заметим, что волновое уравнение для http://edu.sernam.ru/img_page/35.gifи http://edu.sernam.ru/img_page/36.gifможно получить непосредственно из системы уравнений идеальной сжимаемой жидкости. Подставив в систему соотношения (9.15) и исключив из уравнений, например, v и р, получим волновое уравнение для р.

    Волновое уравнение (9.16) описывает распространение возмущений со скоростью http://edu.sernam.ru/img_page/37.gif. Проще всего в этом убедиться, рассматривая частные решения уравнения, зависящие только от http://edu.sernam.ru/img_page/38.gif. В этом случае (9.16) принимает вид

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image22.gif

    Общее решение уравнения (9.19)

    http://edu.sernam.ru/archive/arch.php?path=../htm/lect_gam/files.book&file=gam_62.files/image23.gif

    (http://edu.sernam.ru/img_page/39.gif — произвольные функции) описывает распространение двух волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью http://edu.sernam.ru/img_page/40.gif. Таким образом, скорость звука можно интерпретировать как скорость распространения малых возмущений в покоящемся газе. Законы распространения звука в движущейся и покоящейся средах изучает акустика.

    4 плоские звуковые волны. Решение волнового уравнения.

    2.3. Плоская волна


    Плоской называется такая звуковая волна, фронт которой представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны. Звуковые лучи, которые должны быть перпендикулярны фронту волны, будут направлены в этом случае параллельно друг другу. Это указывает на то, что звуковая энергия не расходится в пространстве, а распространяется пучком, т.е. мы имеем случай направленного излучения.

    Плоская волна может возникнуть в том случае, если размеры излучателя больше длины излучаемой волны. Это условие выполняется при работе громкоговорителя на верхних звуковых частотах. Плоскую волну можно создать искусственно, нагрузив громкоговоритель  на  трубу с жесткими стенками. Стенки трубы не дадут волне расходится даже, если размеры излучателя будут меньше длины волны.

    Для установления свойств плоской волны определим связь между давлением и колебательной скоростью в ней. Представим излучатель в виде жесткого поршня, колеблющегося вдоль некоторой оси х и излучающего плоскую волну.

    Звуковое поле в точке у поверхности источника, излучающего гармоническое колебание, определится как: p=pmejt.

    В точке на некотором удалении от излучателя давление запоздает по фазе на время  http://library.tuit.uz/el_ucheb/elektroakustika_i_radioveshanie/image053-2.gif   (2.9) и станет равным p=pmejt-).

     

    http://library.tuit.uz/el_ucheb/elektroakustika_i_radioveshanie/image057-2.gif

    Решение волнового уравнения


    Основная статья: Формула Кирхгофа

    Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (\mathbb{r}^1) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (\mathbb{r}^2) — формула Пуассона.

    Формула Д'Аламбера


    Решение одномерного волнового уравнения (здесь  v = a  — фазовая скорость)

    u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad(функция f(x,t)соответствует вынуждающей внешней силе)

    с начальными условиями

    u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)

    имеет вид

    u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau

    Интересно заметить, что решение однородной задачи

    u_{tt}=a^2 u_{xx},

    имеющее следующий вид

    u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}

    может быть представлено в виде

    u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at)

    где

     f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha}

     f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha}

    В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции f_1(x)и f_2(x)- это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

    В многомерном случае также решение задачи Коши может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

    5 плотность потока энергии звуковой волны. Акустическое сопротивление

    Плотностью потока энергии — средняя по времени энергия, которую электромагнитная или звуковая волна переносит в единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны

    \large j=\frac{\delta w}{s\delta t}=\omega \upsilon  


    плотностью потока энергии

    Через площадку S за время  \delta tбудет перенесена энергия  \delta wзаключенная в цилиндре с основанием S и высотой v\delta t . Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости S и \delta t ) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, S и v\delta t и тогда получается, что энергия равна:

    \large \delta w=sv\delta t  

    Подставим данную энергию в первоначальное уравнение и у нас получится:

    \large j=\omega \cdot \upsilon  

    В Формуле мы использовали :

     j— Интенсивность электромагнитной волны (плотностью потока энергии)

    \delta w — Энергия волны

     s— Площадь поверхности

    \delta t — Время

    \omega — Плотность энергии

     \upsilon— Скорость волны

    Удельное акустическое сопротивление


    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Перейти к: навигация, поиск

    Удельное акустическое сопротивление упругой среды — величина, равная отношению амплитуды звукового давления в среде к колебательной скорости её частиц при прохождении через среду звуковой волны:

    z_s = {p_0 \over v}

    Единица измерения — паскаль-секунда на метр (Па•с/м). Удельное акустическое сопротивление можно рассчитать через плотность среды ρ и скорость звука c в ней:

    ZS = ρc

    акустическое сопротивление

    [acoustic resistance (impedance)] — характеристика, вводимая при рассмотрении колебаний акустических систем, равная отношению звукового давления к объему колебательнойости скор. Активное и реактивное акустические сопротивления образуют комплексный акустический импеданс;
    написать администратору сайта