Главная страница
Навигация по странице:

  • Записи типа не имеют смысла

  • 1. Сложение комплексных чисел

  • 2. Умножение комплексных чисел

  • Модуль комплексного числа


  • Аргумент комплексного числа

  • такое значение называется главным значением аргумента числа

  • Тригонометрическая форма записи

  • Показательная (экспоненциальная

  • Линейная алгебра N 12. 12. Комплексные числа


    Название12. Комплексные числа
    АнкорЛинейная алгебра N 12.doc
    Дата10.05.2018
    Размер0.9 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛинейная алгебра N 12.doc
    ТипДокументы
    #17079




    Занятие 12. Комплексные числа.
    12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

    12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

    12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

    12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.
    Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

    Комплексным числом в алгебраической форме называется число

    , (1)

    где называется мнимой единицей и - действительные числа: называется действительной (вещественной) частью; - мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .

    По определению,

    ,

    и т.д.

    Множество всех действительных чисел является частью множества : . С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству . Например, и , т.к. .

    Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

    Пример 1. Решить уравнение .

    Решение. ,

    т.к. .

    Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

    , .

    Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

    , , .

    Решение.

    - соответственно вещественная и мнимая части числа ,

    .

    .

    .
    Любое комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат . Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами (рис 1.) Ось называется вещественной осью, а ось - мнимой осью комплексной плоскости .



    Рис. 1.

    Комплексные числа сравниваются между собой только знаками . . Если же хотя бы одно из равенств: нарушено, то . Записи типа не имеют смысла.
    По определению, комплексное число называется комплексно сопряженным числу . В этом случае пишут . Очевидно, что . Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

    Например, .
    Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

    1. Сложение комплексных чисел производится так:

    .

    Свойства операции сложения:

    - свойство коммутативности;

    - свойство ассоциативности.

    Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел означает сложение отвечающих им на плоскости векторов по правилу параллелограмма.

    Операция вычитание числа из числа производится так:

    .

    2. Умножение комплексных чисел производится так:

    .

    Свойства операции умножения:

    - свойство коммутативности;

    - свойство ассоциативности;

    - закон дистрибутивности.

    3. Деление комплексных чисел выполнимо только при и производится так:



    .

    Пример 3. Найти , если .

    Решение.

    1) .(ош!)

    2) .(ош!)

    3) .(ош!)

    4) .

    5) .
    Пример 4. Вычислить , если .

    Решение.

    .

    z, т.к. .



    .(ош!)
    Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

    .

    Модуль, аргумент комплексного числа.

    Модуль комплексного числа (модуль обозначается ) это - неотрицательное число , т.е. .

    Геометрический смысл - длина вектора, представляющего число на комплексной плоскости . Уравнение определяет множество всех чисел (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности .

    Аргумент комплексного числа (аргумент обозначается ) это – угол в радианах между вещественной осью и числом на комплексной плоскости , причем положителен, если он отсчитывается от до против часовой стрелки, и отрицателен, если отсчитывается от оси до по часовой стрелке.

    Таким образом, аргумент числа определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого , где . Однозначно аргумент числа определяется в пределах одного обхода единичной окружности на плоскости . Обычно требуется найти в пределах интервала , такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается .

    и числа можно найти из уравнения , при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости лежит конец вектора - точка :

    если (1-я четверть плоскости ), то ;

    если (2-я четверть плоскости ), то;

    если (3-я четверть плоскости ), то ;

    если (4-я четверть плоскости ), то .

    Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координаты точки - конца вектора на плоскости .

    Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

    .

    Решение.

    1) .

    2) .

    3)

    .

    4) .

    5)

    .

    6) .

    7)

    .

    8) .

    Аргументы чисел , лежащих осях , разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .

    Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

    Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

    , (2)

    где - модуль, - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств .

    Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа имеет вид:

    , (3)

    где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

    . (4)

    Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).
    Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел: из примера 5.

    Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

    1)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

    2)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

    3)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

    4)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

    5)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

    6)

    - тригонометрическая форма числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма числа .

    7)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма числа .

    8)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

    - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .
    Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел. Пусть - показательные формы чисел .

    1. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

    2. При делении комплексного числа на число получается комплексное число , модуль которого равен отношению модулей , а аргумент - разности аргументов чисел .
    Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

    По определению,

    .

    При возведении в целую степень комплексного числа , следует действовать так: сначала найти модуль и аргумент этого числа; представить в показательной форме ; найти , выполнив следующую последовательность действий

    , где . (5)

    Замечание. Аргумент числа может не принадлежать интервалу . В этом случае следует по полученному значению найти главное значение аргумента

    числа , прибавляя (или вычитая) число с таким значением , чтобы

    принадлежало интервалу . После этого, нужно заменить в формулах (5) на .

    Пример 7. Найти и , если .

    Решение.

    1) = (см. число из примера 6).

    2) , где . . .

    Следовательно, можно заменить на и, значит,

    , где .

    3) , где . .

    Заменим на . Следовательно,

    .
    Извлечение корня -й степени из комплексного числа проводится по формуле Муавра-Лапласа

    . (6)

    Из формулы (6) видно, что имеет ровно различных значений .

    Пример 8. Найти все значения .

    Решение. Требуется вычислить в случае .

    .

    Формула Муавра-Лапласа (6), подставляя в которую , дает:

    .

    Следовательно,

    ,

    ,

    Итак, , , - искомые значения .

    Пример 9. Найти в показательной форме все значения .

    Решение. Требуется вычислить в случае .

    (см. число из примера 5).

    По формуле Муавра-Лапласа, в которой следует положить ,

    для значений последовательно находим требуемые значения :

    .

    .



    , . Заменим на , получим окончательное выражение .



    , . Заменим на , получим окончательное выражение .

    ___________________________________________________________________

    Домашнее задание.

    1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел: . Изобразить эти числа на комплексной плоскости. Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.

    2. Найти для комплексного числа .

    3. Найти все значения .
    написать администратору сайта