Главная страница
Навигация по странице:

  • Доказательство.

  • 27 Угол между плоскостями.

  • 35 Расстояние от точки до плоскости.. 26 Расстояние от точки до плоскости. Теорема 26. 1


    Скачать 44.22 Kb.
    Название26 Расстояние от точки до плоскости. Теорема 26. 1
    Анкор35 Расстояние от точки до плоскости..docx
    Дата24.12.2017
    Размер44.22 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла35 Расстояние от точки до плоскости..docx
    ТипДокументы
    #9194

    26 Расстояние от точки до плоскости.

    ТЕОРЕМА 26.1. Пусть плоскость \pi:\,a\,x+b\,y+c\,z+d=0, задана своим общим уравнением относительно ПДСК, а m_0(x_0;y_0;z_0) --- произвольная точка пространства. Тогда расстояние от точки m_0 до плоскости \pi вычисляется по формуле

    \rho(m_0,\pi)=\frac {\left |a\,x_0+b\,y_0+c\,z_0+d\right |}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(35)


    Доказательство. Пусть m_1(x_1;y_1;z_1) --- произвольная точка плоскости \pi. Тогда расстояние от точки m_0 до плоскости \pi равно модулю ортогональной проекции вектора \vec {m_1m_0} на ось вектора \vec n, перпендикулярного к этой плоскости . По формуле (15) (раздела "Векторная алгебра") имеем 

    \rho(m_0,\pi)=\left |\frac {\vec {m_1m_0}\cdot\vec n}{|\vec n|}\right |.

    Учитывая, что \vec {m_1m_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1),\,\vec n=(a;b;c) и используя координатную форму скалярного произведения, получим

    \rho(m_0,l)=\left |\frac {a\,(x_0-x_1)+b\,(y_0-y_1)+c\,(z_0-z_1)}{\sqrt {a^2+b^2}}\right |=

    =\frac {|a\,x_0+b\,y_0+c\,z_0+(-a\,x_1-b\,y_1-c\,z_1)|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}.

    Для завершения доказательства осталось заметить, что d=-a\,x_1-b\,y_1-c\,z_1, так как справедливо равенство a\,x_1+b\,y_1+c\,z_1+d=0. Теорема доказана.

    Используя доказанную теорему вычислим расстояние между двумя параллельными плоскостями \pi_1:\,a\,x+b\,y+c\,z+d_1=0 и \pi_2:\,a\,x+b\,y+c\,z+d_2=0, заданными своими уравнениями относительно ПДСК.

    Пусть m_1(x_1;y_1;z_1) --- произвольная точка плоскости \pi_1. Тогда 
    a\,x_1+b\,y_1+c\,z_1+d_1=0\leftrightarrow -d_1=a\,x_1+b\,y_1+c\,z_1.

    С другой стороны, 

    \rho(\pi_1,\pi_2)=\rho(m_1,\pi_2)=\frac {\left |a\,x_1+b\,y_1+c\,z_1+d_2\right |}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}.

    Учитывая вышесказанное приходим к формуле

    \rho(\pi_1,\pi_2)=\frac {|d_2-d_1|}{\sqrt {a^2+b^2+c^2}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(36)

    27 Угол между плоскостями.

    Определение 27.1. Любой из двух смежных двугранных углов, полученных при пересечении двух плоскостей называется углом между этими плоскостями.

    Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и пусть в этой системе координат даны уравнения двух плоскостей

    \pi_1:\,a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0,\,\,\,\,\pi_2:\,a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0.

    Найдем угол между этими плоскостями. Согласно определению 27.1. угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Так как нормальными векторами данных плоскостей являются векторы \vec n_1=(a_1;b_1;c_1) и \vec n_2=(a_2;b_2;c_2), то отсюда получается формула

    \cos\,(\angle\pi_1,\,\pi_2)=\frac {a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2}{\sqrt {a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot\sqrt {a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(37)


    Из (37) получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями относительно ПДСК:

    a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2+c_1\cdot c_2=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(38)
    написать администратору сайта