Главная страница
Навигация по странице:

  • 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 3.1. Вывод уравнений, решением дифференциальных уравнений движения, применительно к пассивному относительному движению двух КА.

  • 3.2. Вывод уравнений для импульсного относительного движения двух КА.

  • 3.2.1. Вывод уравнения импульсного относительного движения из общего уравнения движения

  • Решение

  • Методом прямых вычислений (подстановки).

  • 3.2.2. Вывод уравнений импульсного относительного движения двух космических аппаратов из двух оставшихся общих уравнений относительного движения.

  • Рассмотрим уравнение

  • Курсач. основа и конец 3. 3. практическая часть. Вывод уравнений, решением дифференциальных уравнений движения, применительно к пассивному относительному движению двух ка


    Название3. практическая часть. Вывод уравнений, решением дифференциальных уравнений движения, применительно к пассивному относительному движению двух ка
    АнкорКурсач. основа и конец 3.docx
    Дата15.12.2017
    Размер0.5 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаКурсач. основа и конец 3.docx
    ТипРешение
    #7488
    страница1 из 3
      1   2   3

    3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

    3.1. Вывод уравнений, решением дифференциальных уравнений движения, применительно к пассивному относительному движению двух КА.

    Возьмем уравнение:



    Оно выражает относительное движение двух КА по произвольной орбите. Причем один из аппаратов пассивно движется по опорной невозмущенной кеплеровой орбите, а второй движется активно (маневрируя) по орбите, которая может отличаться от опорной как за счет начального рассогласования орбит, так и за счет действия возмущающего ускорения.

    Решение этого уравнения подробно описано ранее. Получаем: (3.1)

    (3.2)

    Данные системы уравнений можно решить и численным методом, однако это потребует больших вычислительных мощностей, поэтому мы решим это иным способом.

    Введем подстановку:

    (3.3)





    Действуя тем же методом, находим:

    (3.4)

    Выполним замену в выражение (1):

    (3.5)

    Решив дифференциальные уравнения (3.4), получаем:

    (3.7)

    Решив систему уравнений (3.3) найдем x, y, z, , от :

    (3.8)

    3.2. Вывод уравнений для импульсного относительного движения двух КА.

    До этого момента, мы рассматривали случай относительного движения без ускорения: .

    Однако, космические аппараты движутся не только пассивно, но и с приложением ускорения – именно таким образом мы изменяем орбиту и траекторию движения в зависимости от того, как нам это необходимо.

    Для начала рассмотрим уравнение движения, когда в некий момент времени пассивного движения дается мгновенный импульс.

    Импульсом мы считаем поданное ускорение ,) за бесконечно малый промежуток времени. В данном случае импульс можно считать дельта-функцией.

    Обозначим момент начала движения за , момент окончания движения , а момент, когда дан импульс за:















    Коэффициент с индексом «+», это коэффициент после импульса, а с индексом «-», до импульса.

    Соответственно, с момента времени , до , а с момента времени , до .

    3.2.1. Вывод уравнения импульсного относительного движения из общего уравнения движения , двумя методами.

    Рассмотрим, для начала, для наиболее простое уравнение относительного движения из системы (6.16):

    ,

    Его решение в общем виде (=0) имеет вид:

    (3.9)

    Мы вычислили это в предыдущем пункте.

    Теперь решим это же уравнение, но пойдем дальше, и уже не будем считать, что ускорение равно нулю, а решим уравнение применительно к импульсу. Для проверки результатов, а так же для выявления наиболее быстрого способа решения для использования его в последующем, решим этот случай двумя способами.

    Решение , для импульсного движения, методом вариации произвольных постоянных Лагранжа.

    Сущность метода состоит в том, чтобы найти сначала решение уравнений в общем виде, для однородного уравнения. Вид решений неоднородного уравнения останется прежним, только постоянные перестанут быть константами, а станут функциями по времени. Таким образом, остается только найти эти функции.

    Теперь перейдем к решению случая, когда (неоднородное уравнение), не забывая, что константы станут функциями по времени:



    Понизим степень уравнений:

    , уравнения примут вид:

    (3.10)

    Подставим (3.10) в :





    Теперь подставим (3.10) в :





    После сокращений остается:



    Теперь выразим константы:



    Проинтегрировав получим следующие функции:



    Такое решение интеграла мы получаем в связи с тем, что интегрируем дельта-функцию по бесконечно малому отрезку времени.

    Если мы будем считать тем же способом для n импульсов, то получим следующий результат:



    Таким образом, мы видим, что для расчета нескольких импульсов этим способом решение меняется от одноимпульсного на последнем шаге.

    Так как координаты для конечного момента относительного движения , часто принимают за ноль (оба аппарата оказались в одной точке), то для удобства, выразим из выражения (3.9):





    Объединим эти уравнения и произведем обратную замену переменных. Для этого мы помножим первое уравнение на , а второе на и сложим их:











    Таким образом, мы получили общую формулу, благодаря которой можем определить конечные параметры при заданных начальных условиях и данных об импульсах.

    Методом прямых вычислений (подстановки).

    Теперь попробуем решить то же самое уравнение , но методом прямых вычислений. Делается это для проверки результатов, а так же для выявления наиболее быстрого способа решения для использования его в последующем.



    Запишем это уравнение в приложении к единичному импульсу:













    Для момента времени :



    Как уже говорилось ранее:



    Коэффициент с индексом «+», это коэффициент после импульса, а с индексом «-», до импульса.

    Соответственно, с момента времени , до , а с момента времени , до .

    Добавим второй импульс и запишем уравнения для движения до момента времени , (не включая его):





















    Таким образом, в этих уравнениях отображено, что КА движется с момента времени пассивно, в момент подается импульс, и с КА опять движется пассивно.













    Аналогично:













    Запишем формулу для 3-х импульсов, тем же способом:

























































    Теперь, когда мы вычислили три итерации для трех импульсов, мы можем увидеть закономерность и продлить ту же формулу для n числа импульсов:



    Объединим эти два уравнения. Для этого первое уравнение мы умножим на , а второе на , после чего сложим их левые и правые части. Получим:







    Таким образом, мы получили два одинаковых уравнения двумя способами – методом вариации произвольных постоянных Лагранжа и методом прямых вычислений (подстановки). Оба эти метода дают верное решение, однако, для решения методом Лагранжа системы уравнений (6.16), необходимо будет упрощать, лианеризовывать, решать сложное дифференциальное уравнение второго порядка – это может привести к ошибке в расчетах.

    Поэтому, для решения остальных уравнений этой системы мы используем чуть более длинный в расчетах, но менее вычислительноемкий метод – метод прямой подстановки.

    3.2.2. Вывод уравнений импульсного относительного движения двух космических аппаратов из двух оставшихся общих уравнений относительного движения.

    Решим оставшиеся общие уравнения движения, в импульсном приложении:



    Напомним подстановку, которую мы ввели в начале этой главы (3.3):



    Рассмотрим уравнение .

    Решение данного уравнения мы нашли ранее:

    (3.11)

    Оно же верно для записи безъимпульсного движения до момента времени .













    Запишем связь констант до импульса и после импульса, для этого уравнения:



    Теперь запишем уравнение (3.11) для двух импульсов с учетом подстановки. Напоминаем, что в уравнении мы рассматриваем движение до второго импульса, не включая его:

























    Добавим третий момент времени:





























    Тогда уравнения примут вид:



    Добавим следующий импульс:







































    Теперь, проанализировав зависимость изменения уравнений от до , мы можем записать уравнения для n числа импульсов, логически продолжив ряд.



    Объединим их:






      1   2   3
    написать администратору сайта