Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Начальные классы
Информатика
Биология
Медицина
Сельское хозяйство
Ветеринария
Вычислительная техника
Дошкольное образование
Логика
Этика
Религия
Философия
Воспитательная работа
История
Физика
Политология
Социология
Языки
Языкознание
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Промышленность
Энергетика
Другое
Доп
образование
Строительство
Физкультура
Технология
Связь
Автоматика
Электротехника
Классному руководителю
Химия
Геология
Иностранные языки
Логопедия
Искусство
Культура
География
Экология
ИЗО, МХК
Директору, завучу
Казахский язык и лит
Школьному психологу
Языки народов РФ
Обществознание
Социальному педагогу
ОБЖ
Механика
Музыка
Украинский язык
Астрономия
Психология

термех 2 часть. Билет 8 Плоскопараллельное движение тела


Скачать 219.37 Kb.
НазваниеБилет 8 Плоскопараллельное движение тела
Анкортермех 2 часть.docx
Дата17.12.2017
Размер219.37 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлатермех 2 часть.docx
ТипДокументы
#8004


Билет №8 Плоскопараллельное движение тела
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение тела в плоскости OXY. При движении тела величины http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form108.gif и http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form71.gif будут меняться: http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form109.gifУравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. 
Плоскопараллельное движение можно представить состоящим из поступательного и вращательного движений.

Скорости точек тела при плоскопараллельном движении. 
Теорема 1. Абсолютная скорость  любой точки плоской фигуры в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: скорости  поступательного движения плоской фигуры и вращательной скорости  во вращательном движении фигуры. 
Положение любой точки тела можно определить равенством http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form114.gif

Взяв производную от обеих частей уравнения по времени получим, http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form115.gif

,
где http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form116.gif - искомая скорость; http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form117.gif - скорость полюса; http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form118.gif - скорость точки В при вращательном движении тела вокруг полюса А при http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form119.gif Таким образом http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form120.gifhttp://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form121.gif
Теорема 2. Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны и имеют одинаковый знак. Зная, что http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image247.gif, спроецируем данное выражение на прямую АВ, тогдаhttp://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form122.gif

Теорема 3. Плоская фигура в каждый момент времени имеет одну точку, абсолютная скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС). http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form125.gifhttp://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image251.gif
При движении плоской фигуры положение МЦС непрерывно меняется. Графически МЦС находится как точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из двух точек к направлениям их скоростей

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от них до мгновенного центра скоростей.

Если за полюс выбран МЦС, то скорость любой точки плоской фигуры есть вращательная скорость вокруг МЦС. Модуль скорости пропорционален расстоянию от точки до МЦС.

Зная для данного момента времени положение МЦС и скорость какой-либо точки плоской фигуры, можно определить угловую скорость и скорость любой точки плоской фигуры.
Если известна по модулю и направлению скорость одной точки и направление скорости другой точки, то можно определить скорости всех точек плоской фигуры.

Частные случаи определения положения МЦС.
Если угловая скорость плоской фигуры равна нулю, то МЦС удален в бесконечность и тело совершает мгновенно- поступательное движение. Скорости всех точек плоской фигуры равны по величине и направлению. 
Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны линии, соединяющей эти точки, то МЦС можно найти из условия пропорциональности скоростей точек расстояниям от этих точек до МЦС.

При качении без скольжения одного тела по поверхности другого неподвижного тела МЦС совпадает с точкой соприкосновения тел, так как при отсутствии скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю.
Определение ускорений точек тела. Абсолютное ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса. http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image265.gif

Движение плоской фигуры задано http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form132.gif  http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form133.gifУскорение http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image270.gif точки В во вращательном движении вокруг полюса найдем по формулам http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form134.gif или http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form135.gif и http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/form136.gif
Вектор http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image276.gif всегда направлен от точки В к полюсу А, вектор http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image277.gif направлен перпендикулярно ВА в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное. http://www.mehanica-kvs.narod.ru/image/razdel1img/r123/image278.gif

9 Сложное движение точки

Основные понятия и определения.

Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением точки.

Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением точки.

Движение подвижной системы координат в неподвижной системе координат называется переносным движением.

Теоремы о сложении скоростей точки и об абсолютной производной вектора.




http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_3.gifгде A - абсолютная скорость начала подвижной системы координат; dρ / dt является производной вектора ρ, известного в подвижной системе координат, которую находят в неподвижной системе координат и называют абсолютной производной вектора ρ.Найдем абсолютную производную вектора ρ: http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_4.gif







Сумма называется относительной или локальной производной:

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_7.gif

(4)




Теорема о локальной производной.

Абсолютная производная вектора равна сумме относительной (локальной) производной вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на сам этот вектор.

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_9.gif

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_10.gif

(7)

Подставляя (7) в выражение (1), имеем

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_11.gif

(8)

Выделим переносную скорость точки, используя прием замораживания. Тогда после останова точки ее относительная скорость равна нулю Vr = 0, а абсолютная скорость равна ее переносной скорости V = Ve, так как остановленная в относительном движении точка (вмороженная в подвижную систему координат) продолжает перемещаться в неподвижной системе координат за счет переносного движения подвижной системы координат. Учитывая это, из выражения (8) имеем




(9)

Абсолютная скорость точки, участвующей в сложном движении, равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_13.gif, гдеhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_12.gif

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).













Абсолютное ускорение точки, участвующей в сложном движении, равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_19.gif,где http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_20.gif

Величина кориолисова ускорения вычисляется по формуле

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem1/images/13_21.gif




а направление вектора определяется по правилу построения вектора векторного произведения векторов ωe и Vr 

11 Центр масс системы материальных точек

ЦЕНТР МАСС (центр инерции) системы материальных точек – условная (или эквивалентная) точка, представляющая собой одну из геометрических характеристик распределения масс в системе. Пусть http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image002.gif – масса http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image004.gif-той (http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image006.gif) точки системы, а http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image008.gif – радиус-вектор этой точки в некоторой системе координат. Тогда радиус-вектор http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image010.gif точки С – центра масс определяется по формуле

http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image012.gif , http://www.krugosvet.ru/images/1011291_image014.gifМоментом инерции системы материальных точек или тела относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму  произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния  их до полюса 0. http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/u_course/lekc/part1/glava5/f.5.2.gifПри непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюсаhttp://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/u_course/lekc/part1/glava5/5.02.files/image002.gif

Момент инерции тела зависит от:

  1. расстояния до оси вращения;

  2. формы тела;

  3. массы тела;

  4. распределения массы тела по его объему.

Теорема Гюйгенса-Штейнера Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела М на квадрат расстояния между осями:  I = Ic + Ma2, где а — расстояние между осями.

10 Законы Ньютона.

Основные законы динамики. Законы Галилея - Ньютона

1. Закон инерции: изолированная материальная точка неспособна вывести себя из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения без воздействия внешних сил или полей;2. Основной закон динамики: сила, действующая на тело, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и совпадает с ней по направлению: , масса - мера инертности точки: .3. Закон равенства действия и противодействия;4. Закон про равнодействующую силу: несколько одновременно действующих на точку сил сообщают ей такое ускорение, какое сообщает ей одна сила, равная их геометрической сумме: .

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах

Метод кинетостатики: если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю: , где Ф - сила инерции.

Так как: , то проектируя на ось координат получаю:, так как: то аналогично для y и z получаю:

Основные задачи динамики точки

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.



12 Кинетическая энергия материальной точки.

Теорема Кёнига

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс: </h2>{t = t_0 + t_r}, где t — полная кинетическая энергия, </h2>t_0 — энергия движения центра масс, </h2>t_r — относительная кинетическая энергия. Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы вовращательном движении относительно центра масс.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Кинетическая энергия материальной точки - скаляр, равный половине произведение массы точки на квадрат ее скорости.

Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Основное уравнение динамики: , домножим на элементарное перемещение: ; ; . Интегрируя полученное выражение:

Работа

Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы.

Работа постоянной по модулю и направлению силы F на прямолинейном перемещении s ее точки приложения равна

https://lh4.googleusercontent.com/-l8uybzhkuxw/t19vikfrgpi/aaaaaaaac80/litqyui__ne/s1600/119.png

Если угол  α острый, то работа силы положительна, если тупой – отрицательна. 

Если направления силы и перемещения совпадают (α=0), то A = Fs

Если направление силы перпендикулярно направлению перемещения (α=90◦), то А = 0

Если направление силы противоположно направлению перемещения (α=180◦), то A = -Fs.

https://lh5.googleusercontent.com/-9fw-zdfgwou/t19vibv6pki/aaaaaaaac8s/unzbez4kkoo/s1600/120.png

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ - силы, работа которых зависит только от начального и конечного положения точек их приложения и не зависит ни от вида траекторий, ни от закона движения этих точек. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского (электростатического) взаимодействия

Для консервативных сил выполняются следующие тождества:

 \nabla \times \vec{f} = 0 — ротор консервативных сил равен 0;

 \oint\limits_c {\vec{f} d\vec{l}} = 0  — работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

 \vec{f} = \nabla u  — консервативная сила является градиентом некой скалярной функции u, называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии e_p, взятой с обратным знаком. Соответственно, \vec{f} и e_p связаны соотношением

 \vec{f} = -\nabla e_p.

Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол α, определяется по формулеhttp://ndsis.ru/dinam/ris1/image071.jpgПереходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность: http://ndsis.ru/dinam/ris1/image072.jpg

Как было указано, F cos α является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos α через Fv, получимhttp://ndsis.ru/dinam/ris1/image073.jpg, так как http://ndsis.ru/dinam/ris1/image074.jpgМощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду, http://ndsis.ru/dinam/ris1/image075.jpg

Кинетическая энергия механической системы при различных видах движения

Кинетическая энергия механической системы - скаляр, равный сумме кинетических энергий всех точек системы: .

При поступательном движении:

При вращательном движении:

При плоскопараллельном движении: , где d - расстояние от центра масс до МЦС.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

, так как работа внутренних сил равна нулю, то: .

Теорема: изменение кинетической энергии механической системы на конечном перемещении равно сумме работ внешних сил на том же перемещении.

Потенциальная энергия

Существуют две основные формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с потенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения. Обозначив потенциальную энергию http://dvoika.net/education/trenie/ris1/image105.jpg  получимhttp://dvoika.net/education/trenie/ris1/image106.jpg, где G — сила тяжести точки (или тела); Н — высота центра тяжести от нулевого уровня.



Для тела, вращающегося под действием силы вокруг оси, можно после разложения силы по естественным осям получить

δA = Fτ δs  Fn δs  Fb δs F δs.

Приняв δs = r δφ, получим δA = Fτ  δφ = M  δφ  илиhttps://lh4.googleusercontent.com/-l5vyoh2mejy/t19vkg5-j7i/aaaaaaaac9a/cu2-v6rnmpw/s1600/121.png
Если действующие силы и момент постоянны, то вышеприведённые формулы принимают вид

 A =F  s,   A = M  φ.

При качении тел по поверхностям возникает момент сопротивления качению, который определяется по формуле

 Mсопр= N  fk ,
где  N  - нормальная реакция поверхности;

          fk  (или δ) - коэффициент трения качения.
Работа момента сопротивления качению всегда отрицательна:

 A = -Mсопр φ.
13 Классификация связей

Несвободная материальная точка - на движение наложены кинематические ограничения.

Связи - тела, ограничивающие свободу движения материальной точки. Динамические реакции связи - силы, с которыми связи действуют на движущуюся материальную точку.

Классификация связей:

1. стационарные - уравнения которых не содержат t в явном виде и нестационарные.

2. голономные - ограничивающие только свободу перемещения, а не скорость и неголономные.

3. неудерживающие - препятствующие движению в одном направлении и допускающие в противоположном и удерживающие.

Виртуальные (возможные) и действительные перемещения.

Рассмотрим бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями, наложенными на систему. Среди этих перемещений будем различать два вида перемещений - виртуальные и действительные.

Рассмотрим виртуальное перемещение точки системы с номером i. Виртуальным перемещением δri называется мысленное бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связями без их разрушения в данное фиксированное мгновение времени.

Если связь одна и описывается уравнением (2), физически ясно, что связь не нарушится, когда вектор виртуального перемещения

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_2.gif

(3)

будет лежать в плоскости, касательной к поверхности связи, зафиксированной в данное мгновение времени. Математически это условие выражается как

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_3.gif

(4)

где grad f - градиент функции (2) при фиксированном t, перпендикулярный поверхности связи в месте нахождения точки, равный

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_5.gif

(5)

Учитывая выражения (3) и (5), раскрываем скалярное произведение в (4), получаем уравнение, которому должны удовлетворять проекции δxi, δyi, δzi виртуального перемещения δri, чтобы связь не нарушалась:

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_4.gif

(6)

В вариационном исчислении бесконечно малые величины δri, δxi, δyi, δzi называются вариациями функций ri, xi, yi, zi. Изменения координат точек или уравнений связи при неизменном времени находятся синхронным варьированием, которое осуществляется согласно левым частям формул (4) и (6).

То есть проекции δxi, δyi, δzi виртуального перемещения точки δr обращают в нуль первую вариацию уравнения связи при условии, что время не варьируется (синхронное варьирование):

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_6.gif

(7)

Следовательно, виртуальное перемещение точки не характеризует ее движение, а определяет связь или, в общем случае, связи, наложенные на точку системы. Таким образом, виртуальные перемещения позволяют учесть эффект механических связей, не вводя реакции связей, как мы это делали раньше, и получать уравнения равновесия или движения системы в аналитическом виде, не содержащие неизвестных реакций связей.

Не следует путать виртуальное перемещение точки с ее элементарным действительным перемещением dri = Vidt, которое действительно происходит за элементарный промежуток времени dt и направлено, как и скорость Vi, по касательной к траектории движения точки.

Отметим еще ряд особенностей виртуальных и действительного перемещения точки:

а) у точки имеется только одно элементарное действительное перемещение, а виртуальных перемещений у точки может быть несколько и даже бесконечно много, например в случае, когда на точку наложена только одна голономная связь;

b) если голономная связь нестационарная, то элементарное действительное перемещение не совпадает ни с одним из виртуальных перемещений точки;

c) если голономная связь стационарна, то элементарное действительное перемещение точки совпадает с одним из ее виртуальных перемещений.

Последние два утверждения можно доказать аналитически, однако это можно показать графически на примере рассмотренных голономных связей (рис. 59, b и c).http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_7.gif

На рис. 60, a изображена нестационарная связь (подвижная связь) в моменты времени t - Δt, t, t + Δt, где t - фиксированное значение времени, когда определяются виртуальные перемещения, а Δt - приращение времени. Там же построены: действительная траектория бусинки, уравнение которой не совпадает с уравнением связи в момент времени t из-за движения бусинки; скорость бусинки V, направленная по касательной к действительной траектории, и вектор элементарного действительного перемещения dr, который не совпадает ни с одним из виртуальных перемещений δr, направленных по касательной к связи в момент времени t. На рис. 60, b показана стационарная связь, где бусинка движется по неподвижной связи, ее скорость всегда направлена по касательной к связи, за счет чего элементарное действительное перемещение dr совпадает с одним из виртуальных перемещений δr.

Виртуальным перемещением системы материальных точек называется совокупность виртуальных перемещений всех ее точек:

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_8.gif

(8)

которые удовлетворяют уравнениям виртуальных перемещений точек системы

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_9.gif

(9)

где l - число наложенных на систему связей.

В понятиях многомерной геометрии виртуальное перемещение системы (8) можно интерпретировать как виртуальное перемещение δr точки, положение которой определяется радиус-вектором r с проекциями x1, y1, z1, ..., xn, yn, zn. Тогда уравнения (9) можно записать в виде

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/teormex1_sem2/images/212_10.gif

Отметим, что в некоторых учебниках вместо термина "виртуальное перемещение" употребляют термин "возможное перемещение". По существу это одно и то же, так как латинское слово virtualis означает возможный. Однако из-за особенностей русского языка в современной отечественной научной и учебной литературе чаще используют термин "виртуальное перемещение".

Виртуальные скорости.

В некоторых случаях вместо виртуальных перемещений δr рассматривают виртуальные скорости Vi*, пропорциональные виртуальным перемещениям. Действительно, если положить δr = kVi*, то в уравнении (7) проекции δxi, δyi, δzi вектора δri заменятся просто на проекции xi'*, yi'*, zi'* вектора Vi*. Если связь, наложенная на точку, является стационарной, то действительная скорость точки Vi будет совпадать с одной из ее виртуальных скоростей Vi*.

 Аксиома о связях (принцип освобождаемости от связей): всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если мысленноосвободить его от связей, заменив их действие соответствующими силами реакций связей.

Идеа́льные свя́зи — класс связей, удовлетворяющих следующему условию: суммарная возможная работа всех реакций этих связей на любых возможных перемещениях равна нулю.

Аналитически сформулированное выше условие идеальности для системы материальных точек может быть сформулировано[1] так:

\overset{}{\overset{n}{\underset{\nu=1}{\sum}}}\;(\,\mathbf{r}_{\nu}\,,\;\delta\mathbf{r}_{\nu})\;=\;0  ,

где  n — число точек, входящих в систему,  \mathbf{r}_{\nu} — равнодействующая реакций связей, приложенных к \nu-й точке, \delta\mathbf{r}_{\nu} — возможное перемещение данной точки (круглыми скобками обозначено скалярное произведение векторов).

Примеры идеальных связей:

1.  Наложенная на материальную точку связь в виде гладкой поверхности (неподвижной или деформирующейся с течением времени), по которой должна двигаться точка (здесь возможные перемещения лежат в касательной плоскости к данной поверхности, а реакция связи этой плоскости ортогональна, так что скалярное произведение равно нулю).

2.  Внутренние связи в абсолютно твёрдом теле, обеспечивающие постоянство расстояний между текущими положениями точек тела.

3.  Контакт двух абсолютно твёрдых тел, соприкасающихся при движении гладкими поверхностями.

4.  Контакт двух абсолютно твёрдых тел, соприкасающихся при движении абсолютно шероховатыми поверхностями.

Принцип виртуальных перемещений: в положении равновесия работа активных сил на виртуальных перемещениях равна нулю.

Принцип виртуальных перемещений является основным принципом, применяемым в решении задач статики в механике. Проведенные для статики рассуждения обобщаются и на случай динамики. Для этого необходимо в уравнении (2.5) перенести http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image582.png направо и проделать те же операции, что и в статике. В результате получается уравнение: http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image583.png (2.9)

Если формально ввести силы инерции http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image584.png, то его можно записать в таком же виде, как уравнение принципа виртуальных перемещений:

http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image585.png. (2.10)

Уравнение (2.10) формулируется как Принцип Даламбера:Работа активных сил вместе с силами инерции на виртуальных перемещениях равна нулю.

Принцип Даламбера является основным принципом динамики систем материальных точек со связями. В отсутствие связей все http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image576.png независимы, и из принципа Даламбера получаются уравнения второго закона Ньютона.

Виртуальные перемещения http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image576.png можно выразить через изменения обобщенных координат, которые обозначим http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image586.png. Эти бесконечно малые изменения обобщенных координат рассматриваются для фиксированного момента времени и называются Вариациями обобщенных координат. Посчитаем дифференциал от выражений (2.2Преобразование от декартовых координат к обобщенным координатам в векторной форме:http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image567.png) при фиксированном http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image587.png. Так как время фиксировано и любое изменение обобщенных координат приводит к изменению http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image588.png, совместимых со связями, то полученные бесконечно малые изменения http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image588.pngЯвляются виртуальными перемещениями. В результате виртуальные перемещения выражаются через вариации обобщенных координат:

http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image589.png (2.11)

Подставляя выражения для http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image576.png из (2.11) в уравнение (2.9), получим еще одно выражение для Принципа Даламбераhttp://www.webpoliteh.ru/images/tm/image590.png. (2.12)

Поскольку вариации обобщенных координат http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image586.pngНезависимы, то из (2.12) получается система уравнений

http://www.webpoliteh.ru/images/tm/image591.png (2.13)

Общее уравнениее динамики или  принцип    Лагранжа-Даламбера.  

В любой момент движения механической системы с идеальными  связями сумма виртуальных работ активных сил  и  сил  инерции на любом  возможном перемещении системы  равна нулю.    

http://termeh-sorokin.on.ufanet.ru/dinamika/d3.4.h18.gif

14 Обобщенные координаты

Обобщенные координаты, обобщенные силы и их вычисление

Обобщенная координата qi - независимая величина, заданием которой однозначно определяется положение всех точек механической системы.

Обобщенная сила - Qi - соответствующая обобщенной координате qi - скалярная величина, равная отношению элементарной работы сил, действующих на систему на перемещении, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты к величине этого приращения:

.

Уравнение Лагранжа второго рода

Пускай q - обобщенная координата, зависящая от времени. Производная по времени от обобщенной координаты - обобщенная скорость, тогда: . Кинетическая энергия механической системы: . Частная производная кинетической энергии по обобщенной координате: , частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости: . Продифференцируем последнее выражение по времени: ; учитывая, что: и получим: или .

написать администратору сайта