Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Начальные классы
Информатика
Биология
Медицина
Сельское хозяйство
Ветеринария
Вычислительная техника
Дошкольное образование
Логика
Этика
Религия
Философия
Воспитательная работа
История
Физика
Политология
Социология
Языкознание
Языки
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Строительство
Промышленность
Энергетика
Другое
Доп
образование
Связь
Электротехника
Автоматика
Физкультура
Технология
Классному руководителю
Химия
Геология
Иностранные языки
Логопедия
Искусство
Экология
Культура
География
ИЗО, МХК
Казахский язык и лит
Директору, завучу
Школьному психологу
Обществознание
Социальному педагогу
Языки народов РФ
ОБЖ
Музыка
Механика
Украинский язык
Астрономия
Психология

Глава_7_вся 1 часть. Деление по содержанию


Скачать 2.32 Mb.
НазваниеДеление по содержанию
АнкорГлава_7_вся 1 часть.docx
Дата25.06.2018
Размер2.32 Mb.
Формат файлаdocx
Имя файлаГлава_7_вся 1 часть.docx
ТипДокументы
#18902
страница1 из 5
  1   2   3   4   5

такого вычитания. Здесь вновь работает принцип двойственности: утверждения относительно умножения подобны утверждениям относительно деления.

Пример. Раздаем 12 кругов по 4 круга каждому учащемуся (рис. 7.14 а). Обозначаем вычитанием предметные действия: 1) 12 – 4 = 8, 2) 8 – 4 = 4, 3) 4 – 4 = 0 (или 12 – 4 – 4 – 4 = 0). Из 12-ти по 4 вычитали 3 раза и предметов не осталось. Короткая запись: 12 : 4 = 3. Раздаем 13 кругов учащимся по 4 круга каждому (рис. 7.14 б): 1) 13 – 4 = 9, 2) 9 – 4 = 5, 3) 5 – 4 = 1; или 13 – 4 – 4 – 4 = 1. Из 13-ти по 4 вычитали 3 раза, 1 круг остался не розданным. Короткая запись: 13 : 4 = 3 (ост.1).
Рис. 7.11

Дети овладевают практическими способами деления групп предметов на равночисленные подгруппы по заданному числу предметов в группе (деление по содержанию) как только научаются откладывать равные количества предметов: по одному, по два, по три.

Практическое деление группы предметов на заданное число равночисленных подгрупп (деление на равные части) более сложное, и потому способ, которым дети еще до школы самостоятельно начинают делить предметы на заданное число равных частей – это способ проб и ошибок. Чаще всего пробы бывают двух видов. Первый: количество предметов в каждой части из заданного количества частей определяют исходя из соображений визуального равенства по объему, массе или по другим свойствам, осязаемым органами чувств, а затем проверяют равенство «штук» предметов в частях соответствием один к одному или счетом. Второй: наугад берут по некоторому одинаковому, интуитивно выбранному количеству предметов столько раз, на сколько равных частей нужно поделить. Если при этом все предметы окажутся поделенными, то выбранное число предметов и будет искомым результатом. Если первая попытка неудачна (не хватило предметов или остались предметы), то пробуют другое число предметов.

Существует также алгоритм деления (деление на равные части)группы предметов на заданное число равных частей. На рисунке 7.12 показано деление 12 треугольников на 4 равные по количеству треугольников части.Этот способ описан выше. Он доступен детям, может быть изобретен ими под руководством педагога, подсказан им.
Рис. 7.12

Включение в процесс познания субъектного опыта предметных действий учащихся делает познание осмысленным, личностно значимым. Отметим несовпадение субъектного опыта предметных действий детей и опыта предметных действий учителя, взрослого. У детей этот опыт богат и ярок, так как они занимались этими действиями совсем недавно, весь дошкольный период. У взрослых он по большей части уже забыт. Знание учителем предметных смыслов математических понятий и математических операций позволяет актуализировать опыт соответствующих предметных действий у учащихся.

Смыслы умножения и деления, основанные на понятии величины. Если у сложения и вычитания в теоретико-множественных и величинных смыслах принципиальных различий нет, то в теории числа, основанной на понятии величины, умножение и деление имеют и новые смыслы. Они могут быть перенесены на теоретико-множественные, если количество элементов в множестве рассматривать как величину, которую можно измерять.

Умножение чисел а и b, также как при теоретико-множественном подходе, можно понимать как обозначение «суммирования» – соединения в одно целое соответствующим конкретной величине способом b объектов, числовое значение величины каждого из которых, измеренного в одинаковых для всех частей единицах, равно а (рис. 7.13).
Рис. 7.13

Умножение может быть также понято как операция перехода от более крупных единиц данной величины к другим, более мелким. Так 23 можно понимать как обозначение числового значения величины некоторого объекта в новых, более мелких единицах, где 2 – число, показывающее, сколько новых единиц укладывается в старой единице, иначе, 2 – есть отношение старой единицы, большей, к новой, меньшей, а 3 – числовое значение величины этого объекта в старых, крупных единицах. (Рис. 7.14)
Рис. 7.14

Практическое деление какого-либо предмета на равные по некоторой величине части также как и при теоретико-множественном подходе может быть двух видов, называемых, как мы уже говорили, деление по содержанию и деление на равные части, соответственно, когда задано числовое значение величины части и когда задано число равных по этой величине частей. Деление по содержанию не вызывает трудностей, равно как и его обозначение с помощью чисел и математических знаков. Например, ленту, длина которой равна 60 см, нужно разрезать на части по 30 см каждая. Последовательно отмеряя с помощью линейки по 30 см и считая количество отрезанных частей, получим, что частей будет 2: 60 : 30 = 2 и 60 см : 30 см = 2. Если длина ленты 65 см, то последовательно отмеряя и отрезая по 30 см, получим 2 ленточки по 30 см и ленточку в 5 см, что обозначается делением с остатком: 65 : 30 = 2 (ост. 5) или 65 см : 30 см = 2 (ост. 5 см).

Однако предметная модель деления с остатком с помощью делением предмета на равные по некоторой непрерывной величине части оказывается невозможной. Покажем это на примере деления 11 : 2.

Возьмем бумажную полоску длиной в 11 см. Деление 11 : 2 может быть обозначением деления на равные части заданной длины и деления на заданное число равных частей. Выполним практически (мысленно или реально) оба вида деления. При делении по 2 см (рис. 7.15) полоска в 1 см остается «неразделенной», что и записывается в результате: 11 : 2 = 5 (ост.1)
Рис. 7.15

При делении полоски на 2 равные части (рис. 7.16) перегибанием пополам мы обнаружим, что «неразделенной» части нет, а, значит, нет и остатка. Поэтому введение деления с остатком на основе моделирования практическим делением предмета, геометрической фигуры на заданное число равных по непрерывной величине частей, невозможно.
Рис. 7.16

Деление натуральных чисел на основе понятия величины, кроме рассмотренных двух видов практического деления, в которых мы работаем с одной единицей величины, можно рассматривать с позиций перехода от более мелких единиц величины, к более крупным. Практические действия при этом такие же, как при делении «по содержанию», но результат интерпретируется не как ответ на вопрос «Какова длина (площадь, объем, масса) в новых единицах?» или «Каково числовое значение длины (площади, объема, массы и т.п.) в единицах, где новая единица в целое число раз меньше старой?» (рис. 7.17).
Рис. 7.17

Порядковые смыслы умножения и деления проявляются в способе нахождении результата умножения и деления соответственно присчитыванием (сложением) или отсчитыванием (вычитанием) по два (умножение двух и деление на два), по три (умножение трех и деление на три) и т.д. по натуральному ряду или числовой прямой.

Подготовка к введению умножения и деления заключается в освоении сложения и вычитания, выполнении заданий на сложение одинаковых слагаемых и последовательное вычитание одного и того числа, в счете двойками, тройками и т.д.

• Составьте по данным рисункам суммы (на рисунках изображены группы с одинаковым количеством предметов, пакеты одинаковой, указанной, массы, товары одинаковой, указанной, стоимости и т.п.). • Найди сумму. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6; 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 (М.И. Башмаков, М.Г. Нефедова). • Нарисуй квадрат со стороной в 10 клеток. Размести в нем маленькие квадраты со стороной 4 клетки так, чтобы они не накрывали друг друга. Закрась их. Сколько маленьких квадратов уместилось? Сколько получилось закрашенных клеток? (М.И. Башмаков, М.Г. Нефедова). • Из ряда чисел 1. 2, 3, 4, …20 выпишите ниже каждое второе число, каждое третье, …, каждое десятое. Продолжите получившиеся ряды. • 10 тетрадей нужно разложить в две одинаковые стопки. Сколько стопок получится? 10 тетрадей нужно раздать учащимся по 2 тетради. Сколько учеников получит тетради?

Ведение умножения и деления, мотивация к изучению, планирование изучения умножения и деления. Мотивом к введению действия может быть интерес к нему как к новому действию, которое еще не изучали, но уже слышали о нем, смотрели в учебнике. Сильным мотивом является проблема, решить которую можно введением нового действия. Мотивом введения умножения может быть проблема записи и чтения суммы большого числа одинаковых слагаемых. Например, число всех тетрадей в 7 пачках, в каждой из которых 20 тетрадей, находится сложением: 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20. Громоздкость записи, трудности восприятия, чтения при назывании каждого слагаемого и краткость прочтения указанием только двух чисел (20 взято слагаемым 7 раз) приводит к изобретению умножения как рационального обозначения суммы одинаковых слагаемых.

В связи с этим, умножение при введении выступает не как новое, уже имеющееся действие, а как наша договоренность называть и записывать сложение одинаковых слагаемых кратко. До этой договоренности умножения не было. Поэтому при введении умножение – это особый случай сложения, которому мы даем имя «умножение», придумываем для него короткую запись, а затем учимся заменять длинные записи короткими. И лишь постепенно, по мере изобретения способов получения результатов без вычисления суммы одинаковых слагаемых умножение приобретает черты самостоятельного арифметического действия. Очень важно, чтобы учащиеся прожили это становление нового арифметического действия как дело рук своих.

После такого введения умножения необходимо рассмотреть и другие предметные ситуации, которые приводят к сумме одинаковых слагаемых, а значит, к умножению и тем самым задают представленные в начале нашего разговора об умножении предметные смыслы умножения. Ниже приведены примеры соответствующих заданий.

• 1-а. Обозначь выражением количество изображенных предметов, фигур и площадь прямоугольника. 1-б. Выполни задание 1-а двумя способами там, где это возможно. 1-в. Составь несколько равенств с выражениями, полученными при выполнении задания 1-а. (рис. 7.18)
Рис. 7.18

• Замени каждое из выражений равным ему выражением с умножением несколькими способами. Найди значения выражений.

17 + 3 + 17 + 3 + 17 + 3 8 + 8 + 8 + 7 + 7 + 7 12 – 6 + 12 – 6 + 12 – 6 5 + 195 + 5 + 195 + 5 + 195 + 5 (16 + 5 ) + (16 + 5) + (16 + 5)

Особо остановимся на умножении с числом 1 и числом 0. Если умножение вводим как сумму одинаковых слагаемых, а за множителями закрепляем их значения (первый множитель означает слагаемое, а второй множитель количество таких слагаемых), то записи 5 ∙ 1 и 5 ∙ 0 не обозначают умножения, так как в сумме не может быть одно слагаемое или ни одного! Что же делать? Но коль мы «придумали» умножение, то почему бы нам и записи вида 5 ∙ 1 и 5 ∙ 0 не назвать умножением? Давайте назовем! Но у нас нет способа найти число – произведение (значение произведения). Как быть? Воспользуемся присвоенной нами властью: назначим какие-нибудь числа произведениями. Вообще говоря, можно назначить любое, первое пришедшее на ум число. Но было бы неплохо, чтобы назначение этих чисел не помешало свойствам умножения. Одно из таких свойств – переместительное. Для всех случаев умножения, кроме рассматриваемого случая, это свойство справедливо. Логично тогда в качестве произведений взять такие числа, чтобы переместительное свойство выполнялось и для этих случаев. 1∙ 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5, а 0 ∙ 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Тогда назначаем: 5 ∙ 1 = 1∙ 5 = 5, для любого числа ∆ ∙ 1 = 1 ∙ ∆ = ∆; 5 ∙ 0 = 0 ∙ 5 = 0 и ∆ ∙ 0 = 0 ∙ ∆ = 0. Или a∙ 1 =1 ∙ a = a и a∙ 0 =0 ∙ a = 0.

После введения деления аналогично нужно рассмотреть деление на 0. Запрет деления на 0 может быть мотивирован, например, так. В отличие от умножения на 0 подобрать число в качестве частного при делении некоторого числа на 0 оказалось невозможным. Никто не сумел найти такое число. Люди оказались бессильны. И что же делать? Каждый раз при попытке деления на нуль говорить о том, что мы не смогли «назначить» частное для этого случая? Ну, уж нет! Коль не удалось найти число на эту «должность», то сделаем вид, что мы и не хотели, да и не могли искать! Издадим закон: делить на 0 нельзя! Что теперь мы можем о себе говорить? На нуль мы не делим не потому, что бессильны это сделать, а потому, что есть запрет на такое деление! Но это же совсем другое дело! Мы такие умные, сильные, еще и законопослушные! Такое эмоциональное «прочтение» запрета деления на 0 очень нравится ребятам. И математика вновь показывает, что она создана людьми, что она живая.

Действия с нулем и единицей позволяют акцентировать внимание на поведении чисел в действиях. Число 1 по отношению к умножению и при делении на него ведет себя очень скромно, никак не влияя на результат. Говорят, что 1 – нейтральное число по отношению к умножению и нейтральное справа по отношению к делению. А 0 ведет себя в умножении и при делении нуля агрессивно: в результате любое число превращается в нуль, поглощается нулем. Поэтому в математике 0 называют поглощающим по отношению к умножению, поглощающим слева по отношению к делению. Обычно в школе об этом не говорят. Нуль в делении отличился также тем, что на себя делить запрещает! Такие характеристики чисел придают отношениям и действиям с числами характер отношений между людьми в связи с действиями людей и потому придают числам и действиям с ними личностный характер. А это всегда сказывается положительно на уровне как предметных, так и личностных и метапредметных результатов.

Так как умножение уже третье арифметическое действие, а деление – четвертое, то планирование работы по изучению умножения и деления уже полностью можетосуществляться учащимися. Они уже в состоянии сами прогнозировать и планировать свою учебную работу по освоению новых действий. В этот период уже можно предложить учащимся наметить вопросы, на которые нужно будет ответить в процессе изучения умножения и деления. Такими вопросами могут быть: Как читается запись умножения? Как называются компоненты умножения? Какие случаи умножения относятся к табличным? Как построить таблицу умножения? Как можно найти результаты табличных случаев умножения? Что такое деление? Если умножение получено из сложения, то может ли деление быть получено из вычитания? Какими свойствами обладает умножение? Деление? Чтобы окончательно согласовать планы по изучению новых действий, нужно сравнить их с последовательностью изучения, предлагаемую авторами учебника.

К вопросу «Как найти результат умножения?» можно переходить после усвоения основных смыслов умножения. Проведя параллель со сложением, учащиеся обосновывают необходимость построения таблицы умножения однозначных чисел, строят такую таблицу, овладевают навыками табличных вычислений. (Более подробно в 7.4.) Некоторую часть табличных случаев умножения иногда изучают до введения деления, расширяя возможности использования связи деления с умножением.

Деление также вводится на основе предметных действий в предметных ситуациях, задающих теоретико-множественный, величинный и порядковый смыслы числа (см. выше). В процессе таких предметных действий усваиваются не только указанные смыслы, но и связи с умножением, вычитанием. Овладению смыслами умножения и деления те же виды заданий, что и при овладению смыслами сложения и вычитания. Это задания на: а) обозначение соответствующих предметных действий действиями вначале сложением или вычитанием, а затем умножением или делением (включая и деление с остатком); б) по записи или устному названию действия с конкретными числами показать или описать соответствующие предметные действия; в) задания на установление соответствия предметных действий и действий умножения или деления, выражений, содержащих сложение или вычитание и выражений с умножением или делением. Заметим, что универсальной наглядной моделью умножения является прямоугольник, разбитый на равные прямоугольники или прямоугольная таблица. Число равных прямоугольных частей прямоугольника может интерпретироваться как площадь прямоугольника, в единицах, равных площади прямоугольника-части.

Изучение свойств умножения и деления. Прежде всего, отметим, что некоторые свойства умножения и деления могут быть сформулированы учащимися самостоятельно по аналогии со свойствами сложения и вычитания, а затем проверены, обоснованы для некоторых, а затем и любых чисел.

Первым открывается переместительное свойство умножения. Его существование, как и других основных свойств, может быть спрогнозировано при планировании изучения умножения. Учащиеся формулируют его самостоятельно на основе сходства с переместительным свойством сложения. Затем намечаются способы обоснования его справедливости: проверяем вычислениями на нескольких парах чисел, обосновываем для всех чисел.

Для того, чтобы утверждать, что переместительное свойство справедливо для всех пар чисел, можно использовать обоснование на примере подсчета числа ячеек в прямоугольной таблице, которая, при одинаковых размерах ячеек, может быть понята и как прямоугольник, поделенный на равные, прямоугольные части, площадь которых может быть принята за единицу площади а общее их число – значением площади прямоугольника в этих единицах. И в том, и в другом случае очевидно, что число ячеек (прямоугольников-мерок) не зависит от способа подсчета. Рациональных способов два: сосчитать число ячеек (прямоугольников-мерок) в строке, число строк и найти соответствующее произведение; сосчитать число ячеек (прямоугольников-мерок) в столбце и число столбцов и найти соответствующее произведение.

Приведенные рассуждения в состоянии провести любой учащийся, Аналогично может быть обосновано распределительное свойство умножения относительно сложения. Моделью для него может быть прямоугольная таблица с ячейками разного цвета (рис. 7. 19)
Рис. 7.19

По такой таблице легко составляются два числовых выражения:

(3 + 2) ∙ 9 и 3 ∙ 9 + 2 ∙ 9, обозначающих число всех ячеек таблицы, на основании чего (3 + 2) ∙ 9 = 3 ∙ 9 + 2 ∙ 9. И вновь обобщаем на любые числа: так как произведение любой суммы на число можно представить подобным образом, то подобное равенство будет справедливо для любых чисел: (∆ + ⌂) ∙ ☼ = ∆ ∙ ☼ + ⌂ ∙ ☼.

Так как в период изучения свойств умножения и деления учащиеся уже имеют опыт решения текстовых задач, в том числе решения разными арифметическими способами, то еще одним источником открытия свойств может быть решение текстовых сюжетных задач двумя арифметическими способами с записью решения в виде выражения.

Задача. В цветочном магазине составили букеты по 3 цветка одного вида из 36 хризантем и из 21 розы. На сколько больше букетов из хризантем, чем из роз. Решение. Первый способ: 36 : 3 – 27 : 3. Второй способ (36 – 27) : 3. Так как оба выражения дают ответ на вопрос одной и той же задачи, то 36 : 3 – 27 : 3 = (36 – 27) : 3.

Аналогично могут быть изучены и другие, названные в начале этой части главы свойства. С каждым новым свойством степень самостоятельности учащихся нужно увеличивать.

С изучением действий тесно связано рассмотрение числовых рядов, обнаружение закономерностей, на которых построен ряд. Примеры рядов: а) 18, 27, … 72, 81; б) 132, 264, 396, …; в) 3020 , 3220, 3420, 3620, … . Во внеурочной деятельности могут быть рассмотрены ряды и с более сложными зависимостями. Полезны задания на составление рядов.

Средствами углубления представлений об арифметических действиях являются уроки обобщения, задания на составление и определение смысла числовых выражений с парами числовых данных текстовых задач (см. главу о текстовых задачах), уроки или внеурочные занятия – праздники арифметического действия или действий, на которых говорят и показывают достоинства действий, их необычные свойства, говорят о своем добром отношении, делятся впечатлениями от некоторых встреч с ними и т.п., уроки – праздники чисел 0 и 1, как имеющих особые функции в арифметических действиях, праздник «модной одежды» чисел для наилучшего выполнения числами своих функций в арифметических действиях, праздник-конкурс оригинальных способов вычислений.

Уроки обобщения и систематизации уроки завершают изучение каждого блока учебного материала, а также определенные периоды обучения, например, полугодие, учебный год. Обобщающие уроки при изучении арифметических действий призваны обеспечить понимание учащимися связей между действиями, особенности и общие характеристики действий.
  1   2   3   4   5
написать администратору сайта