Главная страница
Навигация по странице:

  • 1. Повторные независимые испытания.

  • 2. Формула Бернулли.

  • 3. Наивероятнейшее число появлений события.

  • 4. Локальная теорема Лапласа.

  • Теорема 3.1.

  • 5. Интегральная теорема Лапласа.

  • Теорема 3.2.

  • 6. Использование интегральной теоремы Лапласа.

  • 7. Формула Пуассона для маловероятных событий.

  • Теорема 3.3.

  • Тема 3. Испытания по схеме бернулли


    Скачать 0.69 Mb.
    НазваниеИспытания по схеме бернулли
    АнкорТема 3.doc
    Дата08.10.2017
    Размер0.69 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаТема 3.doc
    ТипДокументы
    #5167




    ИСПЫТАНИЯ ПО СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
    Определение повторных независимых испытаний. Формулы Бернулли для вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона для маловероятных случайных событий.
    1. Повторные независимые испытания.

    На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом представляет интерес исход не каждого отдельного испытания, а общее число появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в результате испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

    Если вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события , или повторными независимыми испытаниями. Если независимые испытания производятся в одинаковых условиях, то вероятность события в этих испытаниях одна и та же. При изменении условий испытаний вероятность события от испытания к испытанию меняется. Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаковый, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

    2. Формула Бернулли.

    Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в -м испытании. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие в этих испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно раз. Обозначим через () появление события , через - непоявление события в -м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

    ,

    .

    Событие может появиться раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Следовательно, событие можно представить в виде суммы сложных событий, несовместных между собой, причем число слагаемых равно :



    , (3.1)

    где в каждое произведение событие входит раз, а входит раз. Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее число таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим вероятность события (обозначим ее через ):

    ,

    или

    . (3.2)

    Полученную формулу называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называются испытаниями Бернулли или схемой Бернулли.

    Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна . Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

    Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому по формуле (3.2), полагая , , , получим:

    .

    3. Наивероятнейшее число появлений события.

    Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называется такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события . Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании. Обозначим вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу , через . Используя формулу (3.2), можно записать:

    (3.3)

    Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события соответственно и раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность , т. е.

    ,

    .

    Подставляя в неравенства значение и выражения вероятностей и , имеем:

    ,

    .

    Решая эти неравенства относительно , получим:

    ;

    Объединяя последние неравенства, получим двойное неравенство, которое используется для определения наивероятнейшего числа

    . (3.4)

    Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице

    ,

    и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:

    1) если - целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;

    2) если - дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);

    3) если - целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .

    При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для подсчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга

    ,

    справедливую для достаточно больших , и принять наивероятнейшее число равным , то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу:

    . (3.5)

    Пример 2. Известно, что часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий объемом штук. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.

    Решение. По условию , , . Согласно неравенству (3.4) имеем

    ,

    откуда . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии из штук равно . Подставляя данные в формулу (3.5), вычислим вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:

    .
    4. Локальная теорема Лапласа.

    Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях весьма затруднительно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если , , , то для отыскания вероятности надо вычислить выражение . Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли ? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

    Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции



    при .

    Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента (приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. .

    Итак, вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна

    ,

    где .

    Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно раз в испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна .

    Решение. По условию , , , . Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

    .

    Вычислим определяемое данными задачи значение :

    .

    По таблице (приложение 1) находим . Искомая вероятность равна:

    .

    Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки, ввиду их громоздкости, опущены):

    .
    5. Интегральная теорема Лапласа.

    Вновь будем предполагать, что производится испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Как вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить “от до раз”) ? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

    Теорема 3.2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу

    ,

    где и .

    При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции для положительных значений , для пользуются той же таблицей (функция нечетна т. е. ). В таблице приведены значения интеграла лишь до , так как для можно принять .

    Итак, вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз, приближенно равна

    ,

    где и .

    Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных деталей окажется нестандартных от до деталей.

    Решение. По условию , ,, , . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

    .

    Вычислим нижний предел интегрирования:

    .

    Вычислим верхний предел интегрирования:

    .

    Таким образом, имеем

    .

    По таблице (приложение 2) находим

    , .

    Искомая вероятность равна

    .
    6. Использование интегральной теоремы Лапласа.

    Если число (число появлений события при независимых испытаниях) будет изменяться от до , то дробь будет изменяться от до . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

    . (3.6)

    Поставим своей задачей найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства , или, что то же самое, . Эту вероятность будем обозначать так: . С учетом формулы (3.6) для данной вероятности получаем (выкладки опускаем виду их громоздкости):

    . (3.7)

    Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более, чем на .

    Решение. По условию , , , . Требуется найти вероятность . Пользуясь формулой (3.7), будем иметь:

    .

    По таблице (приложение 2) находим , следовательно, . Итак, искомая вероятность приближенно равна . Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по деталей в каждой, то примерно в % этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит .
    7. Формула Пуассона для маловероятных событий.

    Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но при небольшой величине произведения получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.

    Теорема 3.3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний достаточно велико, но произведение остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз

    .

    Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы Пуассона, составлена таблица значений функции Пуассона (приложение 3).

    Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна . Найти вероятность того, что среди деталей окажется нестандартных.

    Решение. Здесь , , а . Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого события применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (приложение 3) при и получаем .

    Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее :

    .

    Поэтому приближенное значение искомой вероятности согласно формуле Лапласа таково:

    ,

    а точное значение ее, которое дает формула Бернулли, такое:

    .

    Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей по приближенной формуле Лапласа составляет , или %, а по формуле Пуассона - , или %, т. е. во много раз меньше.
    ЗАДАЧИ
    1. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце восьми дней три дня окажутся дождливыми ?

    Ответ: .

    2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми ?

    Ответ: вероятнее выиграть три партии из четырех.

    3. Изделия некоторого производства содержат % брака. Найдите вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

    Ответ: а) ; б) .

    4. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной . Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех ?

    Ответ: .

    5. Вероятность рождения мальчика равна , а девочки - . В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

    Ответ: .

    6. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна . Телефонная станция обслуживает абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят пять абонентов ?

    Ответ: .

    7. Имеется общество из человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна .

    Ответ: .

    8. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна . Какова вероятность, что при испытаниях успех наступит: а) ровно раз ? б) ровно раз ?

    Ответ: а) ; б) .

    9. Какова вероятность того, что в столбике из ста наугад отобранных монет число монет, расположенных “гербом” вверх, будет от до ?

    Ответ: .

    10. Производство дает % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование изделий бракованных будет не больше ?

    Ответ: .
    написать администратору сайта