Главная страница
Навигация по странице:

  • Упражнение 1.

  • Упражнение 2.

  • Расчетное задание .

  • ЛР1-Ванна. Исследование электростатического поля, создаваемого электродами различной формы методом моделирования полей в электролитической ванне


    Скачать 254.5 Kb.
    НазваниеИсследование электростатического поля, создаваемого электродами различной формы методом моделирования полей в электролитической ванне
    АнкорЛР1-Ванна.doc
    Дата28.05.2018
    Размер254.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛР1-Ванна.doc
    ТипИсследование
    #17831

    Лабораторная работа 1

    Моделирование электростатических полей

    в электролитической ванне

    Цель работы. Исследование электростатического поля, создаваемого электродами различной формы методом моделирования полей в электролитической ванне.


    Приборы и оборудование. Ванна с электродами, частично заполненная водой, источник питания, цифровой вольтметр.

    Теоретическая часть


    При конструировании электронных ламп, фокусирующих систем, конденсаторов и других приборов часто требуется знать распределение электрического поля в пространстве, заключенном между электродами сложной формы. Непосредственно измерить потенциалы точек электростатического поля, помещая в них зонды, довольно трудно, потому что на зондах индуцируются заряды, что приводит к искажению исследуемого поля. Кроме того, часто интерес представляют поля в электронных приборах малых размеров, где разместить зонды практически невозможно.

    Метод моделирования электростатического поля в электролитической ванне позволяет решить указанную задачу. Измерения в электролитической ванне проводят с помощью электродов, форма которых воспроизводит объект (то есть электроды реального прибора) в некотором масштабе, чаще всего увеличенном. Электроды располагают друг относительно друга так же, как они расположены в моделируемом приборе. На них подают потенциалы равные или пропорциональные потенциалам соответствующих электродов объекта. При этом между электродами образуется электрическое поле, которое в каждой точке пространства отличается от исследуемого одним и тем же масштабным коэффициентом.

    Заполним теперь пространство между электродами слабо проводящей жидкостью, например водой. Замена непроводящей среды на проводящую может, вообще говоря, изменить распределение электрического поля. Выясним условия, необходимые для того, чтобы такого изменения не произошло.

    Распределение электрического поля в пространстве определяется дифференциальными уравнениями в частных производных (уравнениями Максвелла), решения которых зависят как от формы электродов, так и от граничных условий. Можно показать (см. Приложение 1), что форма уравнений от замены непроводящей среды на проводящую не меняется, так что главное внимание должно быть обращено на граничные условия.

    Если проводимость среды значительно меньше проводимости материала, из которого изготовлены электроды, то, как и в электростатике, потенциалы в разных точках каждого электрода будут практически одинаковы. Поэтому граничные условия на электродах в случае, когда среда совсем не проводит тока, и в случае слабо проводящей среды совпадут: будут заданы потенциалы электродов.

    При погружении электродов в жидкость кроме граничных условий на самих электродах необходимо задать граничные условия на поверхности жидкости, на стенках и на дне сосуда. Проще всего обстоит дело, когда стенки сосуда и поверхность жидкости настолько удалены от изучаемой области, что не оказывают влияния на распределение электрического потенциала. Тогда граничные условия в электролитической ванне полностью соответствуют условиям объекта, и распределение потенциала воспроизводится наилучшим образом.

    Рассмотрим теперь случай, когда одна из поверхностей жидкости (например, верхняя) находится вблизи от электродов. Граничные условия на поверхности жидкости и воздуха определяются тем, что электрический ток не может идти перпендикулярно этой поверхности (из проводящей жидкости в непроводящий воздух). Так как плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля , то в жидкости установится такое распределение потенциала, при котором вектор не имеет составляющих, перпендикулярных поверхности. В электролитической ванне, следовательно, можно без искажений моделировать только такие поля , которые не имеют составляющих, перпендикулярных той плоскости, где будет проходить поверхность жидкости. Это же требование в принципе должно выполняться на дне и на стенках ванны. Стенки , впрочем, обычно находятся достаточно далеко от исследуемого объема, так что их влияние можно не учитывать.



    Рис. I. Электроды в проводящей среде.

    Итак, среда должна быть слабо проводящей, стенки ванны должны быть далеко от исследуемого объема, поверхность жидкости и дно ванны должны совпадать с поверхностями вдоль которых направлен вектор исследуемого поля. Последнее условие легко выполнить для плоских полей, то есть полей, не зависящих от какой-нибудь декартовой координаты, например z. Такие поля создают, например, длинные электроды цилиндрической формы, вытянутые в направлении оси z (рис.1). При выполнении указанных выше условий распределение поля в электролитической ванне с достаточной точностью воспроизводит распределение поля в непроводящей среде при том же расположении электродов.

    Измерить поле в проводящей среде существенно проще, чем в непроводящей. Для этого в жидкость вводят зонд – тонкую металлическую проволоку, и измеряют разность потенциалов между зондом и одним из электродов. Помещая зонд в различные точки исследуемого поля, получают распределение потенциалов в этом поле.

    Введение в жидкость металлического зонда, вообще говоря, изменяет распределение поля в жидкости, так как вдоль зонда принудительно устанавливается одинаковый электрический потенциал. Измерительный зонд поэтому не вызывают искажений лишь в том случае, если он располагается вдоль линии, которая и до внесения зонда обладала одинаковым потенциалом. Особенно удобно исследовать с помощью зондов плоские поля: зонд, расположенный параллельно оси z (рис. 1), в этом случае заведомо не искажает распределения электрического поля.

    Небольшие искажения поля всегда происходят из-за того, что зонд не может быть сделан бесконечно тонким. Влияние толщины зонда зависит от соотношения между его диаметром и шириной области, на протяжении которой происходит существенное изменение потенциала электрического поля. Обычно искажения, связанные с размерами зонда, оказываются незначительными.

    Измерения в электролитической ванне лучше проводить, используя для питания источники переменного тока, так как при работе с постоянным током будет происходить электролиз, и пузырьки газа, осаждаясь на электродах, будут искажать исследуемое поле. Если частота переменного тока достаточно низкая (обычно 50 Гц), то распределение потенциала в каждый момент времени не отличается сколько-нибудь заметно от стационарного.

    В работе используются две пары цилиндрических электродов. Рассмотрим поля, создаваемые ими.

    Поле двух разноименно заряженных стержней.

    Модуль напряженности электрического поля, созданного бесконечно длинным равномерно заряженным стержнем на расстоянии r > a от его оси (a - радиус стержня) в однородном диэлектрике, определяется формулой

    , (1)

    где  -линейная плотность заряда стержня, - электрическая постоянная, - диэлектрическая проницаемость (эту формулу можно получить, воспользовавшись теоремой Гаусса).

    Найдем модуль напряженности поля, созданного двумя такими параллельными стержнями, расположенными на расстоянии 2l друг от друга, один из которых заряжен с линейной плотностью (+), а другой - (-). Проще всего это сделать для точек, расположенных на осях симметрии. Так для точек, расположенных на оси Оy (рис.2), получим

    , (2)

    где

    (3)

    - модуль напряженности электрического поля в начале координат.



    Рис.2. Напряженность поля на оси симметрии двух разноименно заряженных стержней
    Несколько сложнее найти модуль напряженности поля в произвольной точке. В этом случае поле удобно выразить через расстояния r1, r2 , задающие положение точки, в которой определяется поле:

    . (4)

    (см. рисунок и вывод этой формулы в Приложении 2). Нетрудно показать, что из этой формулы следует и частный результат (2). Заметим, что при выводе формул (2) - (4) предполагалось, что расстояние между стержнями 2l >> a и, следовательно, заряд по поверхностям стержней распределен практически равномерно.

    Поле цилиндрического конденсатора

    Поле в конденсаторе, образованном двумя коаксиальными (имеющими общую ось) цилиндрами, описывается выражением (1). Полагая потенциал внешнего цилиндра (радиуса b) равным нулю, найдем потенциал в точке, расположенной на расстоянии от оси:

    . (5)

    Описание эксперимента


    В эксперименте электроды помещаются в ванну с электролитом; вольтметром измеряется напряжение на подвижном зонде по отношению к одному из электродов, потенциал которого считается равным нулю (рис. 3). Перемещение зонда осуществляется вращением зубчатых колес, расположенных по бокам установки справа и слева. По соответствующим шкалам можно определить значения координат зонда. Таким образом определяются значения потенциала в различных точках поля.



    Рис. 3. Схема установки

    Если потенциал найден, то вектор напряженности электрического поля можно рассчитать по формулам

    , , (6)

    которые следуют из общего соотношения

    , (7)

    где - орты осей прямоугольной системы координат .

    Обычно потенциал удается измерить в конечном числе точек, расположенных в некоторой области. Пусть, например, известны значения потенциала в близко расположенных узлах прямоугольной сетки (рис.4). Тогда вектор напряженности электрического поля в точке 0 имеет проекции на оси X и Y:

    ,

    .



    Рис.4. К расчету напряженности электрического поля через значения потенциалов

    в ее окрестности
    Для приемлемой точности необходимо, чтобы в рассматриваемой окрестности точки 0 электрическое поле менялось слабо и, очевидно, что точность этих формул увеличивается с уменьшением a и b.

    Выполнение работы


    Упражнение 1. Изучение поля, созданного параллельными заряженными стержнями.

    1. Поместите в ванну с электролитом электроды в виде стержней. Электроды должны быть чистыми, без черного налета. При необходимости их следует аккуратно зачистить "шкуркой". Отрегулируйте горизонтальное положение ванны с помощью установочных винтов. Зонд должен располагался вертикально.

    2. Включите электронный вольтметр, настроенный на измерение переменного напряжения. Приведите зонд в электрический контакт с электродом-1 (рис.3), включите источник питания и установите напряжение между стержнями 10 В. Контролировать это напряжение следует по электронному вольтметру, а не по "грубому" прибору, встроенному в источник питания.

    3. Определите напряженность электрического поля в начале координат (используемая система координат изображена на рис. 2). Так как в этой точке вектор напряженности параллелен оси Оx, то достаточно найти проекцию вектора напряженности на эту ось. Для этого следует измерить разность потенциалов между точками с координатами (-x/2, 0) и (+x/2, 0) и рассчитать

    .

    Частная производная при этом заменяется отношением малых приращений. Точность такого приближения увеличивается с уменьшением x, однако при очень малых значениях x трудно с приемлемой точностью измерить . В данном эксперименте предлагается принять x = 2 см.

    1. Проверьте экспериментально формулу (2). Для этого определите, как и в п.2, напряженность поля в точках, лежащих на оси Оy. По результатам измерений постройте график зависимости отношения от координаты y (на том же листе миллиметровой бумаги, что и график, рассчитанный теоретически при помощи (2) во время подготовки к работе).

    2. Измерьте модуль вектора напряженности поля в произвольной точке с координатами (x, y) (выберите эту точку по указанию преподавателя). Для этого сначала определите проекции вектора напряженности на координатные оси

    , ,

    а затем рассчитайте модуль вектора . Полученное значение сравните с теоретическим, найденным при помощи (4).

    Упражнение 2. Изучение поля цилиндрического конденсатора.

    1. Выключите источник питания. Поместите в ванну электрод в виде полого цилиндра. Цилиндр имеет разрез, через который зонд вводится внутрь него, после чего цилиндр следует развернуть таким образом, чтобы разрез был закрыт одним из стержней.

    2. Включите источник питания. Установите напряжение между обкладками цилиндрического конденсатора (между центральным стержнем и внешним цилиндром) 10 В. Перемещая зонд вдоль радиуса, снимите зависимость потенциала от расстояния r до оси цилиндрического конденсатора. Повторите измерения, перемещая зонд вдоль другого радиуса, перпендикулярного первому. По результатам этих измерений рассчитайте среднее значение потенциала для каждого значения и постройте график зависимости от . Точки графика должны лечь на прямую.



    Подготовка к работе


    1. Физические понятия, величины, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

    • Электрический заряд и его фундаментальные свойства.

    • Плотность заряда (линейная, поверхностная, объемная).

    • Закон Кулона.

    • Пробный заряд. Вектор напряженности электрического поля.

    • Потенциальность электростатического поля. Разность потенциалов. Потенциал.

    • Принцип суперпозиции электрических полей.

    • Связь напряженности поля и потенциала.

    • Силовая линия. Эквипотенциальная поверхность.

    • Теорема Гаусса.

    1. Приведите в конспекте вывод формул (1) - (5).

    2. Изучите экспериментальную часть работы. Приведите в рабочей тетради электрическую схему измерений.

    Расчетное задание.

    Рассчитайте при помощи (2) зависимость от (5 см, 15 см) и постройте на миллиметровой бумаге график этой зависимости.

    Рекомендуемая литература


    1. И.Е. Иродов. Электромагнетизм. Основные законы. Москва-Санкт-Петербург: ФИЗМАТЛИТ, 2001. §1.1-1.6.

    2. Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Москва.: Астрель. АСТ, 2001, §§ 1.1-1.8, 1.13, 1.14.

    Приложение 1


    Рассмотрим электростатическое поле, созданное в вакууме системой заряженных проводников. Электростатическое поле потенциальное, поэтому для произвольного замкнутого контура :

    . (П1)

    По теореме Гаусса

    , (П2)

    где - произвольная замкнутая поверхность, внутри которой отсутствуют заряды. Из уравнений (П1), (П2) можно получить дифференциальное уравнение

    , (П3)

    относительно потенциала , которое называется уравнением Лапласа (детали вывода уравнения (П3) из (П1) и (П2) здесь нас не интересуют).

    Пусть теперь пространство между проводниками заполнено слабо проводящей однородной средой. Неизменная во времени разность потенциалов между проводниками поддерживается за счет источников ЭДС; в среде протекает постоянный электрический ток.

    И в этом случае электрическое является потенциальным, следовательно, справедливо уравнение (П1). Кроме того, в силу закона сохранения заряда поток вектора плотности тока через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

    .

    По закону Ома , где  - удельная проводимость, поэтому

    .

    Таким образом для электрического поля постоянных токов, как и в вакууме, выполняются уравнения (П1), (П2), а следовательно и уравнение Лапласа (П3).

    Приложение 2


    Напряженность поля в точке, определяемой векторами и , равна векторной сумме напряженностей полей обоих стержней: .

    По теореме Гаусса

    .

    Модуль вектора



    .

    Квадратный корень в последнем выражении, как видно из рис.6, равен (по теореме косинусов) расстоянию между стержнями 2l . Поэтому .



    Рис.6. К выводу формулы (4)



    написать администратору сайта