Главная страница
Экономика
Финансы
Математика
Начальные классы
Биология
Информатика
Медицина
Дошкольное образование
Сельское хозяйство
Ветеринария
Воспитательная работа
Вычислительная техника
История
Логика
Философия
Этика
Религия
Физика
Политология
Социология
Языкознание
Языки
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Другое
Промышленность
Энергетика
образование
Строительство
Доп
Физкультура
Технология
Классному руководителю
Связь
Автоматика
Электротехника
Геология
Иностранные языки
Логопедия
География
Химия
Искусство
Культура
Экология
ИЗО, МХК
Казахский язык и лит
Директору, завучу
Школьному психологу
Обществознание
Социальному педагогу
Языки народов РФ
ОБЖ
Музыка
Механика
Астрономия
Украинский язык
Психология

Математика для чайников. Лекции по разделу Элементы теории определителей и матриц


Скачать 0.97 Mb.
НазваниеЛекции по разделу Элементы теории определителей и матриц
АнкорМатематика для чайников.doc
Дата15.05.2018
Размер0.97 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаМатематика для чайников.doc
ТипЛекции
#17325
страница1 из 9
  1   2   3   4   5   6   7   8   9


Ю.И.Романов


КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Избранное

Часть I. Лекции по разделу « Элементы теории определителей и матриц»

Москва

МГУДТ 2012

Лекция 1.
Определители. Их свойства. Методы вычисления определителей
Под определителем (детерминантом) D (или ) второго порядка понимается выражение:

D =

a11

a12

= a11.a22 - a12.a21 (1)




a21

a22





Числа а11, а12, а21 и а22 называются элементами определителя. Они расположены в двух строках и двух столбцах (рядах определителя). Индексы обозначают место элемента в определителе. Первый из них указывает строку, в которой находится элемент, а второй - столбец. Так, элемент а21 расположен во второй строке, первом столбце. Диагональ, содержащую элементы а11 и а22 называют главной, а диагональ с элементами а12 и а21 - побочной.

Согласно формуле (1) , определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Пример 1.


2

5

= 2 . (-4) - 5 . (-3) = -8 + 15 = 7

-3

-4





Определитель третьего порядка содержит три строки, три столбца и записывается так:

a11

a12

a13




a21

a22

a23

=

a31

a32

a33





a11 . a22 . a33+a21 . a32 . a13 + a12 . a23 . a31 - a13 . a22 . a31 –a12 . a21 . a33-

-a11 .a23.a32 (2)
При его вычислении удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса). Рассмотрим схему:


a11

a12

a13




a11

a12

a13

a21

a22

a23




a21

a22

a23

a31

a32

a33




a31

a32

a33

+ -

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а11 .а22 .а33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а12.а23.а31 и а21.а32 .а13). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а13 .а22.а31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а12 .а21.а33 и а11 . а23 .а32).

Это правило позволяет легко записать формулу (2) и вычислить данный определитель.
Пример 2.

3

-2

1




-2

1

3

=

2

0

-2





3 . 1 . (-2) + (-2) . 3 . 2 + (-2) . 0 . 1 - 2 . 1 . 1 – 3 . 0 . 3 - (-2) . (-2) . (-2) = -12
Свойства определителей
Сформулируем их для определителя третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т.е.


а11

а12

а13




а11

а21

а31

а21

а22

а23

=

а12

а22

а32

а31

а32

а33




а13

а23

а33


Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

Например,


а11

а12

а13




а13

а12

а11

а21

а22

а23

=

а23

а22

а21

а31

а32

а33




а33

а32

а31


Для доказательства этих свойств достаточно применить правило треугольников к левым и правым частям определителя и сравнить полученные результаты.
Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых столбцов определитель D не изменится, а в силу свойства 2 его знак должен измениться. Следовательно, D= -D, откуда 2D=0, т.е. D=0.
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

Иначе это свойство можно высказать так: общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Например,


а11

а12

а13




а11

а12

а13

21

22

23

= k

а21

а22

а23

а31

а32

а33




а31

а32

а33


Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство является частным случаем предыдущего (при k=0)
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Убедитесь самостоятельно, что это свойство следует из свойств 4 и 3.
Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца (или n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (или соответственно в n-ой строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.
Например,


а11

а12’ + а12’’

а13




а11

а12

а13




а11

а12’’

а13

а21

а22’ + а22’’

а23

=

а21

а22

а23

+

а21

а22’’

а23

а31

а32’ + а32’’

а33




а31

а32

а33




а31

а32’’

а33


Особое внимание прошу обратить на следующее свойство, имеющее важное значение для вычисления определителей.
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

Это свойство вытекает из свойств 7 и 6. Действительно, пусть, например, к элементам первого столбца прибавлены элементы второго столбца, умноженные на некоторое число k. Тогда, согласно свойству 7, имеем:


а11+kа12

а12

а13




а11

а12

а13




12

а12

а13

а21+kа22

а22

а23

=

а21

а22

а23

+

22

а22

а23

а31+kа32

а32

а33




а31

а32

а33




32

а32

а33


Второй из полученных определителей равен нулю. Приходим к равенству:


а11+kа12

а12

а13




а11

а12

а13

а21+kа22

а22

а23

=

а21

а22

а23

а31+kа32

а32

а33




а31

а32

а33


Используя свойство 8, можно получить треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули. Он равен произведению элементов главной диагонали:


а11

0

0




а11

а12

а13







а21

а22

0

=

0

а22

а23

=




а31

а32

а33




0

0

а33








= a11.a22.a33
Для формулировки следующих свойств определителя познакомимся с понятием минора и алгебраического дополнения.

Пусть аij, где индекс i и j меняются от 1 до n, - элемент определителя n-го порядка D= |аij|.

Минором Мij элемента аij называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минор М12, соответствующий элементу а12 определителя (2), получается, если вычеркнуть первую строку и второй столбец, т.е.





а11

а12

а13










М12 =

а21

а22

а23

=

а21

а23




а31

а32

а33




а31

а33


Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечетное. Более кратко можно сказать, что алгебраическим дополнением элемента аij определителя D называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (-1) в степени i + j. Его принято обозначать Аij. Таким образом,


Аij = (-1) i+j . Mij




(3)


Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, следует рассмотреть алгебраические дополнения всех элементов определителя и сравнить их с минорами.
Пример 3. Найти алгебраические дополнения элементов а13, а21, а31 определителя










-1

2

3
















D=

2

0

-3



















3

2

5





































А13 = (-1)1+3 .

2

0

=

2

0

= 4 - 0 = 4







3

2




3

2


































А21 = (-1)2+1 .

2

3

= -

2

3

=- (10 - 6) =-4







2

5




2

5


































А31 = (-1)3+1 .

2

3

=

2

3

= -6 - 0 = - 6







0

-3




0

-3








Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:


D =ai1 . Ai1+ai2 .Ai2+...+ain.Ain







(4)


или


D =a1j .A1j+a2i .A2j+...+anj.Anj







(5)


Эти соотношения называются разложениями определителя по элементам i-ой строки или j-ого столбца. Тем самым вычисление определителя порядка n сводится к вычислению n определителей порядка n-1.

Согласно формулам (4) и (5),


D = a11 . A11+a21 . A21+a31 . A31

D = a11 . A11+a12 . A12+a13 . A13

D = a12 . A12+a22 . A22+a32 . A32

D = a21 . A21+a22 . A22+a23 . A23

D = a13 . A13+a23 . A23+a33 . A33

D = a31 . A31+a32 . A32+a33 . A33


Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно записать правую часть формулы (2) в виде:
D = a11 . (a22 . a33 - a23 . a32) + a21 . (a13 . a32 - a12 . a33) +

+ a31 .(a12 . a23 - a13 . a22)
Величины, стоящие в скобках, являются алгебраическими дополнениями элементов а11, а21, а31. Таким образом,


D =a11 .

a22

a23

- a21 .

a12

a13

+ a31 .

a12

a13




(2а)




a32

a33




a32

a33




a22

a23








Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или какой-нибудь строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (или другой строки) равна нулю. Докажем, например, что сумма произведений элементов второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов первого столбца равна нулю. Для этого разложим определитель (2) по элементам первого столбца:
D = a11 . A11+a21 . A21+a31 . A31
Алгебраические дополнения А11, А21, А31 не зависят от самих элементов а11, а21, а31. Поэтому, если в обеих частях равенства эти числа заменить произвольными b1, b2, b3, то получим верное равенство:


b1

a12

a13










b2

a22

a23

= b1 . A11 + b2 . A21 + b3 . A31.




b3

a32

a33











Если в качестве b1, b2, b3 взять элементы второго столбца и учесть, что, согласно свойству 3, определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, то получим:
D = a12 . A11 + a22 . A21 +a32 . A31=0,
что и требовалось доказать.

Еще раз напомню, что представленные свойства определителей относятся к определителям любого порядка.

Каждый раз, заканчивая изложение этой лекции, первой по курсу математики для студентов-технологов и конструкторов факультета ТШП, я с удовольствием вспоминаю, что большинство студенток(ов), осмысливая ее содержание, осознавали, что вычисление определителей при помощи разложения по элементам столбца или строки можно упростить, если предварительно преобразовать этот определитель, используя свойство 8. Умножая элементы столбцов или строк на некоторый множитель и прибавляя их затем к соответствующим элементам других столбцов или строк, они добивались того, чтобы некоторые из элементов полученного определителя оказывались равными нулю. Выполняя самостоятельную работу №1, в которую включено вычисление определителя четвертого порядка, они трехкратным применением такой операции получали определитель, равный данному, но у которого три элемента одного столбца(или одной строки) оказывались равными нулю. Таким образом, вычисление сводилось к подсчету лишь одного минора третьего порядка, так как три других минора умножались на элементы, равные нулю.

Вот как излагает ход своих мыслей отличница - "суперзвезда" Лена Гладкова (КШ-062), вычисляя определитель (пример 4).


D =

3

-3

-2

-5




2

5

4

6




5

5

8

7




4

4

5

6


Произведем следующие действия:
1. Из элементов первого столбца вычтем элементы второго столбца, получим:





6

-3

-2

-5

D =

-3

5

4

6




0

5

8

7




0

4

5

6


2. К элементам первой строки прибавим удвоенные элементы второй строки:





0

7

6

7

D =

-3

5

4

6




0

5

8

7




0

4

5

6


3. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:








7

6

7

D = (-1) . (-3) .

5

8

7







4

5

6


4. Из элементов первой строки вычтем элементы второй строки:





2

-2

0

D = 3 .

5

8

7




4

5

6


5. К элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца:





2

0

0

D = 3 .

5

13

7




4

9

6


6. Разложим этот определитель по элементам первой строки:





13

7













D = 3 . 2 .

9

6

= 6 . (13 . 6-7. 9) = 6 . 15 = 90



Все бы так!
В следующих лекциях я продолжу знакомить вас с мастерством моих учениц, проявленных при выполнении различных упражнений самостоятельной работы № 1.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
написать администратору сайта