Главная страница
Навигация по странице:

  • Равенство матриц

  • Линейные операции над матрицами

  • Математика для чайников. Лекции по разделу Элементы теории определителей и матриц


    Скачать 0.97 Mb.
    НазваниеЛекции по разделу Элементы теории определителей и матриц
    АнкорМатематика для чайников.doc
    Дата15.05.2018
    Размер0.97 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаМатематика для чайников.doc
    ТипЛекции
    #17325
    страница3 из 9
    1   2   3   4   5   6   7   8   9

    Лекция 3.

    Матрицы. Операции над ними
    Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. В общем виде матрица записывается следующим образом:




    a11

    a12



    a1n






    A=

    a21

    a22



    a2n

    (1)












    am1

    am2



    amn








    Для любого элемента (члена) матрицы aij, как и в случае определителей, первый индексiозначает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращённо матрицу записывают так:

    A = (aij), где i = 1, 2, ... ,m,j = 1, 2, … n.

    Виды матриц
    Если в матрице число строк не равно числу столбцов (mn), то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы




    a11

    a12






















    А=

    a21

    a22










    B=

    a11

    a12

    a13

    a31

    a32










    a21

    a22

    a23




    a41

    a42























    Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы




    А=

    а11

    а12







    B=

    а11

    а12

    а13

    а21

    а22

    ,




    а21

    а22

    а23
















    а31

    а32

    а33


    Число строк и столбцов квадратной матрицы называют её порядком. В приведённом примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В равен 3.
    Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:






    a11

    a12



    a1n







    A=

    a21

    a22



    a2n

    (2)












    an1

    an2



    ann








    Она называется невырожденной (неособой), если её определитель DA не равен нулю. Если же DA = 0, то матрица – особая (вырожденная). Диагональ, содержащую элементы a11, a22, … ann, как и в теории определителей, называют главной, а диагональ с элементами a1n, a2, n-1, … an1побочной.
    Матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называют диагональными. Например, матрицы




    A =

    3

    0

    и

    B =

    2

    0

    0




    0

    -5







    0

    4

    0
















    0

    0

    4


    являются диагональными матрицами соответственно второго и третьего порядка. Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны между собой, т.е. a11 = a22 = … ann, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E. Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица




    Е =

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1


    Если в матрице (1) m = 1, n > 1, то получим матрицу-строку (однострочечную матрицу)
    A = (a11a12a1n) (3)
    Если же m > 1, а n = 1, то получается матрица-столбец (одностолбцевая матрица)








    b11

    В=

    b21






    bm1






    Матрицы-строки и матрицы-столбцы называют также вектор-строкой и вектор-столбцом.
    Матрица АТ (или А*) называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы АТ. Так, матрица




    a11

    a21



    am1







    AT=

    a12

    a22



    am2

    (5)












    a1n

    a2n



    amn








    является транспонированной по отношению к матрице (1). Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если aij = aji. Очевидно, что симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.

    Равенство матриц
    Две матрицы А = (aij) и В = (bij) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если aij = bijпри всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы




    A=

    a11

    a12




    и




    B=

    b11

    b12

    a21

    a22







    b21

    b22


    равны, если

    a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21, a22 = b22.

    Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (mx n), либо квадратные одного и того же порядка n.

    Линейные операции над матрицами
    Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

    Суммой двух матриц А = (aij) и В = (bij) называется матрица С = (cij), элементы которой определяются равенством:
    aij + bij = cij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).
    Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка n.
    Пример 1.




    a11

    a12

    +

    b11

    b12

    =

    a11+b11

    a12+b12

    a21

    a22

    b21

    b22

    a21+b21

    a22+b22


    Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный
    А + В = В + А (6)
    и сочетательный
    (А + В) + С = А + (В + С) (7)
    законы сложения.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9
    написать администратору сайта