Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Информатика
Начальные классы
Биология
Медицина
Вычислительная техника
Сельское хозяйство
Ветеринария
Дошкольное образование
Логика
Этика
Религия
Философия
История
Воспитательная работа
Социология
Политология
Физика
Языки
Языкознание
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Строительство
Промышленность
Энергетика
Электротехника
Автоматика
Связь
Другое
образование
Доп
Физкультура
Технология
Классному руководителю
Химия
Геология
Иностранные языки
Искусство
Культура
Логопедия
География
Экология
ИЗО, МХК
Казахский язык и лит
Директору, завучу
Школьному психологу
Языки народов РФ
Социальному педагогу
Обществознание
ОБЖ
Механика
Музыка
Украинский язык
Астрономия
Психология

Математика для чайников. Лекции по разделу Элементы теории определителей и матриц


Скачать 0.97 Mb.
НазваниеЛекции по разделу Элементы теории определителей и матриц
АнкорМатематика для чайников.doc
Дата15.05.2018
Размер0.97 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаМатематика для чайников.doc
ТипЛекции
#17325
страница4 из 9
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:
kА = k(aij) = (kaij) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)
Пример 2.

k

a11

a12

=

ka11

ka12

a21

a22

ka21

ka22



Произведение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка




A=

a11

a12




и







В=

b11

b12

a21

a22










b21

b22


Произведение обозначается так: A.B = C (или AB = C).

Чтобы найти элемент с11 первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b11 и b21) и полученные произведения сложить: c11 = а11b11 + a12b21;

чтобы найти элемент с12 первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а11 и а12) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить: с12 = а11b12 + a12b22.

Аналогично находятся элементы с21 и с22.




С = AB =

a11b11 + a12b21

a11b12 +a12b22

a21b11 + a22b21

a21b12 + a22b22


Сформулируем правило умножения двух матриц.
Произведением матрицы А = (аij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = (bij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (сij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент сij равен сумме произведений элементов i-ой строки (ai1, ai2, … ain) матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца (b1j, b2j, … bnj) матрицы В.
Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.
Пример 3.




a11

a12

a13

b11

b12

b13

a21

a22

a23 .

b21

b22

b23 =










b31

b32

b33




a11b11 + a12b21 + a13b31

a11b12 + a12b22 + a13b32

a11b13 + a12b23 + a13b23

a21b11 + a22b21 + a23b31

a21b12 + a22b22 + a23b32

a21b13 + a22b23 + a23b33











Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).
Найти произведение матриц

А=

1

-3

2

и В=

2

5

6

3

-4

1

1

2

5

2

-5

3

1

3

2


Найдём каждый элемент матрицы-произведения:
c11 = a11b11 + a12b12 + a13b13 = 1 .2 + (-3) .1 + 2 .1 = 1

c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 .5 + (-3) .2 +2 .3 = 5

c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 1 .6 + (-3) .5 + 2 .2 = -5

c21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 3 .2 + (-4) .1 + 1 .1 = 3

c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 3 .5 + (-4) .2 + 1 .3 = 10

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 3 .6 + (-4) .5 + 1 .2 = 0

c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 2 .2 + (-5) .1 + 3 .1 = 2

c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 2 .5 + (-5) .2 + 3 .3 =9

c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 2 .6 + (-5) .5 + 3 .2 = -7
Следовательно,

АВ=

1

5

-5

3

10

0

2

9

-7


Далее Кристина находит произведение ВА:




ВА=

2 . 1 + 5 . 3 + 6 . 2

2(-3) + 5(-4) + 6(-5)

2 . 2+ 5 . 1 + 6 . 3




1 . 1 + 2 . 3 + 5 . 2

1(-3) + 2(-4) + 5(-5)

1 . 2+ 2 . 1 + 5 . 3

=

1 . 1 + 3 . 3 + 2 . 2

1(-3) + 3(-4) + 2(-5)

1 . 2+ 3 . 1 + 2 . 3








=

29

-56

27

17

-36

19

14

-25

11


Видим, что АВ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:
(А + В). С = А . С + В. С (8)
С . (А + В) = С.А + С . В (9)
А.. С) = ( А. В). С (10)
Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.
Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).
Найти значение матричного многочлена

3(А2 – В2) – 2АВ










4

2

1













2

0

2

при

А=

3

-2

0




и




В=

5

-7

-2







0

-1

2













1

0

-1





































Имеем




4

2

1

4

2

1




22

3

6

А2=

3

-2

0

3

-2

0

=

6

10

3




0

-1

2

0

-1

2




-3

0

4





































2

0

2

2

0

2




6

0

2

В2=

5

-7

-2 .

5

-7

-2

=

-27

49

26




1

0

-1

1

0

-1




1

0

3







16

3

4




48

9

12

А2 – В2 =

33

-39

-23

, 3( А2 – В2 ) =

99

-117

-69




-4

0

1




-12

0

3







4

2

1

2

0

2




19

-14

3




АВ =

3

-2

0 .

5

-7

-2

=

-4

14

10

,




0

-1

2

1

0

-1




-3

7

0










38

-28

6













2АВ =

-8

28

20
















-6

14

0



















10

37

6













3(A2 – B2) – 2AB =

107

-145

-89
















-6

-14

3















Умножение на единичную матрицу
На основании правила умножения матриц получаем:




АЕ =

а11

а12 .

1

0

=

а11

а12

а21

а22

0

1

а21

а22




























EA=

1

0 .

а11

а12

=

а11

а12

0

1

а21

а22

а21

а22 ,


























т.е. АЕ = ЕА = А (11)
Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.

Понятие обратной матрицы
Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А-1, запишем

А-1А = АА-1 = Е (12)
Если обратная матрица А-1существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Нахождение матрицы, обратной данной
Пусть дана невырожденная матрица







а11

а12

а13




А=

а21

а22

а23







а31

а32

а33










а11

а12

а13







DА =

а21

а22

а23

0




а31

а32

а33





Обратной матрицей А-1 будет матрица







A11/DА

A21/DА

A31/DА










A-1 =

A12/DА

A22/DА

A32/DА

,




( 13 )




A13/DА

A23/DА

A33/DА











где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij определителя DA.

Убедиться в этом можно, умножая матрицу А на матрицу А-1. Например, элементы с11 и с23 определяются так:
···
c23=a21···=

= = 0

В итоге







а11

а12

а13

A11/DА

A21/DА

A31/DА




1

0

0




С=AA-1=

а21

а22

а23

A12/DА

A22/DА

A32/DА

=

0

1

0

=E




а31

а32

а33

A13/DА

A23/DА

A33/DА




0

0

1





Матрица







A11

A21

A31










=

A12

A22

A32







( 14 )




A13

A23

A33













называется матрицей, присоединённой к А. (Используется также обозначение ). Обратная матрица А-1 через присоединённую выражается так:


=

1



( 15 )

DA


Обратную матрицу будем находить по следующей схеме:
1. Находим определитель матрицы А.

2. Находим алгебраическое дополнение всех элементов аij матрицы и записываем новую матрицу.

3. Меняем местами строки и столбцы полученной матрицы (транспонируем матрицу).

4. Умножаем полученную матрицу на 1/DA.
Пример 6. (Лена Иванова, КШ-061).
Дана матрица




2

5

7

A =

6

3

4




5

-2

-3


Найти обратную матрицу.
1. Вычисляем определитель матрицы А:





2

5

7




2

5

7







DA=

6

3

4

=

0

-12

-17

=

(492 - 493) = -1




5

-2

-3




0

-29/2

-41/2








Так как DA ≠ 0, то матрица А является невырожденной, и, значит, можно найти матрицу А-1.

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

A11=

3

4

= -1,

A21= -

5

7

= 1,

A31=

5

7

= -1,

-2

-3

-2

-3

3

4




A12= -

6

4

= 38,

A22=

2

7

= -41,

A32= -

2

7

= 34,

5

-3

5

-3

6

4




A13=

6

3

= -27,

A23=-

2

5

= 29,

A33=

2

5

= -24.

5

-2

5

-2

6

3


Следовательно,




-1

1

-1




1

-1

1

A-1 = -1

38

-41

34

=

-38

41

-34




-27

29

-24




27

-29

24

1   2   3   4   5   6   7   8   9
написать администратору сайта