Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Информатика
Начальные классы
Биология
Медицина
Вычислительная техника
Сельское хозяйство
Ветеринария
Дошкольное образование
Логика
Этика
Религия
Философия
История
Воспитательная работа
Социология
Политология
Физика
Языки
Языкознание
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Строительство
Промышленность
Энергетика
Электротехника
Автоматика
Связь
Другое
образование
Доп
Физкультура
Технология
Классному руководителю
Химия
Геология
Иностранные языки
Искусство
Культура
Логопедия
География
Экология
ИЗО, МХК
Казахский язык и лит
Директору, завучу
Школьному психологу
Языки народов РФ
Социальному педагогу
Обществознание
ОБЖ
Механика
Музыка
Украинский язык
Астрономия
Психология

Математика для чайников. Лекции по разделу Элементы теории определителей и матриц


Скачать 0.97 Mb.
НазваниеЛекции по разделу Элементы теории определителей и матриц
АнкорМатематика для чайников.doc
Дата15.05.2018
Размер0.97 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаМатематика для чайников.doc
ТипЛекции
#17325
страница5 из 9
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Лекция 4.
Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений
Снова рассмотрим систему трёх линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными (см. (1), лекция 2).




а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1







а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2




( 1 )

а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3








Введём три матрицы:







а11

а12

а13




А=

а21

а22

а23







а31

а32

а33










х1

X =

х2




х3







b1

B =

b2




b3


Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в матричной форме





а11

а12

а13

х1







b1










B =

а21

а22

а23

х2




=

b2







( 2 )




а31

а32

а33

х3







b3











или
AX = B( 3 )
Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Для его решения умножим левую и правую часть слева на матрицу А-1:
А-1АX = A-1B
Так как А-1A = E, аEX = X, то
X = A-1B( 4 )
или в развёрнутом виде


x1







A11

A21

A31

b1







x2

=

1/DA

A12

A22

A32 .

b2




( 5 )

x3







A13

A23

A33

b3








Произведя умножение матриц, находим



x1







b1A11 + b2A21 + b3A31

x2

=

1/DA

b1A12 + b2A22 + b3A32

x3







b1A13 + b2A23 + b3A33


Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа, получаем


x1 =

b1A11 + b2A21 + b3A31

DA




x2 =

b1A12 + b2A22 + b3A32

DA




x3 =

b1A13 + b2A23 + b3A33

DA


Это решение можно записать в форме определителей:

= =

=

Пример 1. (Маша Куприянова).
Решить систему уравнений:




4x1 + x2 – x4 = -9,

x1 - 3x2 + 4x3 = -7,

3x2 - 2x3 + 4x4 = 12,

x1 + 2x2 – x3 - 3x4 = 0.




Представим её в виде матричного уравнения и запишем в

виде (3), где







4

1

0

1




x1




-9

A =

1

-3

4

0

, X =

x2

, B =

-7

0

3

-2

4

x3

12




1

2

-1

-3




x4




0


Решение матричного уравнения имеет вид (4). Найдём А-1.
Имеем:





4

1

0

-1




0

-7

4

11




DA =

1

-3

4

0

=

0

-5

5

3

=

0

3

-2

4

0

3

-2

4




1

2

-1

-3




1

2

-1

-3




= - (-7 . (-26) + 4 . 29 – 11 . 5) = 121
Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:






-3

4

0







1

0

-1







1

0

-1




A11=

3

-2

4

=38,

A21= -

3

-2

4

=-9,

A31=

-3

4

0

=-7,




2

-1

-3







2

-1

-3







2

-1

-3




















































1

0

-1







1

4

0







4

0

-1




A41= -

-3

4

0

=-22,

A12= -

0

-2

4

=-26,

A22=

0

-2

4

=38,




3

-2

4







1

-1

-3







1

-1

-3




















































4

0

-1







4

0

-1







1

-3

0




A32= -

1

4

0

=43,

A42=

1

4

0

=66,

A13=

0

3

4

=-29,




1

-1

-3







0

-2

4







1

2

-3




















































4

1

-1







4

1

-1







4

1

-1




A23= -

0

3

4

=61,

A33=

1

-3

0

=34,

A43=-

1

-3

0

=55,




1

2

-3







1

2

-3







0

3

4




















































1

-3

4







4

1

0







4

1

0




A14= -

0

3

-2

=5,

A24=

0

3

-2

=2,

A34=-

1

-3

4

=15,




1

2

-1







1

2

-1







1

2

-1



































































4

1

0


































A44=

1

-3

4

=-22.


































0

3

-2

























38

-9

-7

-22

=

-26

38

43

66

-29

61

34

55




5

2

15

-22


Следовательно,







38

-9

-7

-22

-9




X = 1/121

-26

38

43

66

-7

=

-29

61

34

55

12




5

2

15

-22

0



1   2   3   4   5   6   7   8   9
написать администратору сайта