Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример 2

  • Понятие о ранге матрицы

  • Метод окаймляющих миноров

  • Метод элементарных преобразований

  • Математика для чайников. Лекции по разделу Элементы теории определителей и матриц


    Скачать 0.97 Mb.
    НазваниеЛекции по разделу Элементы теории определителей и матриц
    АнкорМатематика для чайников.doc
    Дата15.05.2018
    Размер0.97 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаМатематика для чайников.doc
    ТипЛекции
    #17325
    страница6 из 9
    1   2   3   4   5   6   7   8   9







    38(-9) + (-9)(-7) + (-7)12 + (-12)0




    -363




    -3

    = 1/121

    (-26)(-9) + 38(-7) + 43 . 12 + 66 . 0

    =1/121

    484

    =

    4




    (-29)(-9) + 61(-7) + 34 . 12 + 55 . 0




    242




    2




    5(-9) + 2(-7) + 15 . 12 + (-22)0




    121




    1




    x1







    -3

    x2




    =

    4

    x3




    2

    x4







    1


    Приравнивая строки матриц, стоящих слева и справа, получаем:
    x1 = -3, x2 = 4, x3 = 2, x4 = 1.
    Для решения матричного уравнения вида
    XA = B(6)
    умножим его, в отличие от (3), справа на матрицу А-1:
    XAA-1 = BA-1
    Учитывая, что АА-1 = Е, ХЕ = Х, находим
    Х = ВА-1 (7)
    Пример 2. (Полина Зубко, КШ-062).
    Решить уравнение







    -1

    2

    0




    5

    -1

    3

    X .

    -3

    2

    1

    =

    4

    2

    1




    1

    2

    3




    -1

    0

    2


    Ход мыслей Полины:





    -1

    2

    0




    -1

    0

    0




    -4

    1




    1. DA =

    -3

    2

    1

    =

    -3

    -4

    1

    = -

    4

    3

    = 16




    1

    2

    3




    1

    4

    3














    2.


    A11=

    2

    1

    =4,

    A21=-

    2

    0

    =-6,

    A31=

    2

    0

    =2,




    2

    3







    2

    3







    2

    1








































    A12=-

    -3

    1

    =10,

    A22=

    -1

    0

    =-3,

    A32=-

    -1

    0

    =1,




    1

    3







    1

    3







    -3

    1








































    A13=

    -3

    2

    =-8,

    A23=-

    -1

    2

    =4,

    A33=

    -1

    2

    =4




    1

    2







    1

    2







    -3

    2













    4

    -6

    2

    A-1=

    1/16 .

    10

    -3

    1







    -8

    4

    4







    5

    -1

    3




    4

    -6

    2




    X =

    4

    2

    1

    1/16 .

    10

    -3

    1

    =




    -1

    0

    2




    -8

    4

    4










    20-10-24

    -30+3+12

    10-1+12

    =1/16 .

    16+20-8

    -24-6+4

    8+2+4 =




    -4+0-16

    6-0+8

    -2+0+8







    -14

    -15

    21

    =1/16 .

    28

    -26

    14




    -20

    14

    6

    Понятие о ранге матрицы
    Минором данной матрицы А называется определитель, составленный из оставшихся элементов матрицы после вычёркивания из неё нескольких строк и столбцов.

    Рассмотрим, например, матрицу


    а11

    а12

    а13

    а14

    а21

    а22

    а23

    а24

    а31

    а32

    а33

    а34


    Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычёркивания одного столбца и замены знака матрицы ( ) знаком определителя | |. Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычёркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.

    Рангом матрицы А (rA) называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

    Можно определение ранга сформулировать и так:

    рангом матрицы А (rA) называется наибольшее натуральное число, для которого существует не равный нулю определитель k – го порядка, порождаемый матрицей А.
    Убедитесь, что, например, ранг матрицы




    1

    2

    3

    2

    4

    6


    равен 1 (r = 1), а матрицы

    1

    -1

    0

    2

    0

    1

    1

    1

    1

    равен 2 (r = 2).
    Рассмотрим основные методы вычисления ранга матрицы.
    Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k – го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим те миноры (k + 1) – го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1) – го порядка и обсуждаемую процедуру придётся повторить.
    Пример 3. (Маша Куприянова).
    Найти ранг матрицы




    2

    5

    4

    20

    1

    3

    2

    11

    2

    10

    9

    40

    1

    8

    7

    31


    Фиксируем минор второго порядка, отличный от нуля:


    M2 =

    9

    40

    ≠ 0




    7

    31





    Минор третьего порядка





    3

    2

    11




    M3 =

    10

    9

    40

    ,




    8

    7

    31





    окаймляющий минор М2, также отличен от нуля:


    M3 =

    3

    9

    40

    -2

    10

    40

    +11

    10

    9

    =










    7

    31




    8

    31




    8

    7




    = -3 + 20 - 22 = -5
    Однако минор 4-го порядка




    2

    5

    4

    20

    M4 =

    1

    3

    2

    11




    2

    10

    9

    40




    1

    8

    7

    31


    равен нулю (убедимся сами, повторив ход мысли Маши):





    2

    11

    10

    42




    11

    10

    42




    M4 =

    1

    5

    5

    20

    = -

    5

    5

    20

    =




    2

    6

    5

    22




    6

    5

    22







    1

    0

    0

    0


















    = -




    11

    5

    20

    -10

    5

    20

    +42

    5

    5







    =

    5

    22

    6

    22

    6

    5








    = - (110+100-210) = 0
    Следовательно, ранг А равен трём (rA= 3).
    Если rA = rB, то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут А

    В.
    Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

    1. Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;

    2. Перестановка строк матрицы;

    3. Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;

    4. Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

    5. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.


    Метод элементарных преобразований основан на том факте, что они не меняют ранга матрицы. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме а11, а22, ... аrr (rmin (m, n)), равны нулю. Следовательно ранг матрицы равен r.
    Пример 4. Найти ранг матрицы





    2

    11

    5

    2

    A =

    1

    5

    2

    1




    2

    3

    2

    -3




    -1

    3

    1

    4


    Слово опять ей, Лене Гладковой!







    2

    11

    5

    2




    -1

    3

    1

    4

    A =

    1

    5

    2

    1



    1

    5

    2

    1




    2

    3

    2

    -3




    2

    11

    5

    2




    -1

    3

    1

    4




    2

    3

    2

    -3


    Далее проводим следующие преобразования.


    1. а. Элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам второй строки;

    b. Удвоенные элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам третьей и четвёртой строк:




    -1

    3

    1

    4

    A =

    0

    8

    3

    5




    0

    17

    7

    10




    0

    9

    4

    5


    2. а. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы второй строки;

    b. Из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 2:







    -1

    3

    1

    4

    A =

    0

    8

    3

    5




    0

    1

    1

    0




    0

    1

    1

    0


    3. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:






    -1

    3

    1

    4

    A =

    0

    8

    3

    5




    0

    1

    1

    0




    0

    0

    0

    0


    4. Вычёркиваем четвёртую строку, так как все её элементы равны нулю:





    -1

    3

    1

    4

    A =

    0

    8

    3

    5




    0

    1

    1

    0


    5. Из элементов второго столбца вычтем соответствующие элементы третьего столбца:







    -1

    2

    1

    4

    A =

    0

    5

    3

    5




    0

    0

    1

    0


    6. Умножим элементы первой строки на -1 и прибавим к ней соответствующие элементы третьей строки:







    1

    -2

    0

    -4

    A =

    0

    5

    3

    5




    0

    0

    1

    0


    7. Из элементов четвёртого столбца вычтем удвоенные элементы второго столбца:







    1

    -2

    0

    0

    A =

    0

    5

    3

    -5




    0

    0

    1

    0


    8. К элементам второго столбца прибавим удвоенные элементы первого столбца:





    1

    0

    0

    0

    A =

    0

    5

    3

    -5




    0

    0

    1

    0

    9. К элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы четвертого столбца:





    1

    0

    0

    0

    A =

    0

    0

    3

    -5




    0

    0

    1

    0


    10. а. Вычёркиваем второй столбец, так как все его элементы равны нулю;

    b. Делим элементы четвёртого столбца на -5:







    1

    0

    0

    A =

    0

    3

    1




    0

    1

    0


    11. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы третьей строки, умноженных на 3:







    1

    0

    0

    A =

    0

    0

    1




    0

    1

    0


    12. Переставляя строки матрицы А, получаем единичную матрицу.







    1

    0

    0

    E =

    0

    1

    0




    0

    0

    1


    Ранг этой матрицы определяется числом единиц на её главной диагонали и равен 3. Следовательно, таков же и ранг исходной матрицы: rA = 3.
    Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений.

    Запишем ещё раз систему линейных уравнений, с которой я начинал изложение этой лекции.



    а11x1 + a12x2 + a13x3 = b1










    а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2






    ( 1 )

    а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3











    Наряду с матрицей системы,





    а11

    а12

    а13

    A =

    а21

    а22

    а23




    а31

    а32

    а33


    введём её расширенную матрицу







    а11

    а12

    а13

    b1

    B =

    а21

    а22

    а23

    b2




    а31

    а32

    а33

    b3


    Вспомним, что система называется совместной, если у неё существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.

    Теорема Кронекера - Капелли. Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу её расширенной матрицы: rA= rB. Если ранг матрицы А системы меньше ранга расширенной матрицы В, т.е. rA < rB, то данная система несовместна и решения не существует.
    Предоставим , читатель, ещё раз слово Маше Куприяновой. Именно ей Вы обязаны знакомством с конспектом этих лекций, именно она совместно с Леной Гладковой взяла на себя нелёгкий труд, напечатав рукопись и отредактировав её. Повторите ход мыслей Маши при решении вопроса, является ли совместной система уравнений (пример 5)




    6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1

    3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3

    3x1 + 2x2 – 2x3 + x4 = -7

    9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2
    1   2   3   4   5   6   7   8   9
    написать администратору сайта