Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример для самостоятельного решения.

  • Дискриминант многочлена

  • Пример 3.

  • Пример для самостоятельного решения

  • Формулы Виета

  • Пример.

  • Примеры для самостоятельного решения

  • Результант. Лекция 23 Результант Результантом полиномов и, имеющих степени n 0 и m


    НазваниеЛекция 23 Результант Результантом полиномов и, имеющих степени n 0 и m
    АнкорРезультант.doc
    Дата14.01.2018
    Размер151 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаРезультант.doc
    ТипЛекция
    #10725

    Лекция № 23
    Результант
    Результантом полиномов
    и ,
    имеющих степени n>0 и m>0 называют следующий определитель порядка (n+m):
    (1)

    Например,


    Здесь определитель записан при n=5, m=3. Определитель (1) записан для случая, когда n=m.
    Теорема.

    Полиномы
    ,
    имеют общий корень тогда и только тогда, когда их результант равен 0: R(f(x),g(x))=0.
    Пример 1.

    Для полиномов
    и
    их результантом является определитель 6-го порядка
    .
    Во втором определителе третья и пятая строки одинаковы.

    Пример 2.

    Вычислить, при каких значениях полиномы

    и

    имеют общие корни.
    Решение.

    Вычисляем результант:
    .
    f(x) и g(x) имеют общие корни лишь в случае, когда 0, то есть при λ=±1. При λ=1 общими корнями являются i и –i, а при λ= –1: 1 и –1.
    Пример для самостоятельного решения.

    Вычислить результант многочленов и .

    Дискриминант многочлена
    Определение.

    Дискриминантом многочлена
    ,

    имеющего корнями числа , называется произведение
    .
    Дискриминант тогда и только тогда равен нулю, когда среди корней многочлена имеются равные, то есть когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень. Дискриминант связан с результантом многочлена f(x) и его производной f'(x) равенством
    ,
    позволяющей выразить дискриминант через его коэффициенты.
    Пример 3.

    Найти дискриминант многочлена

    .
    Решение.

    .

    .
    , f(x) кратных корней не имеет.

    Пример для самостоятельного решения

    Найти дискриминант многочлена

    .
    Можно выразить через коэффициенты многочлена и другим путем, пользуясь тем, что является симметрическим многочленом от корней .
    Формулы Виета
    Корни многочлена

    связаны с его коэффициентами по формулам Виета:

    Элементарные симметрические многочлены от nпеременных:

    Степенными суммами называются симметрические многочлены

    С элементарными симметрическими многочленами они связаны формулами Ньютона:
    при ;

    при .
    Из этих формул можно находить через или наоборот.
    , где
    - сумма i-х степеней корней многочлена .
    Пример.

    Найти дискриминант многочлена .
    Решение.

    , , .


    Ответ:
    Примеры для самостоятельного решения:

    а) найти дискриминант многочлена

    б)





    написать администратору сайта