Главная страница
Навигация по странице:

  • Матрица линейного оператора в заданном базисе

  • Основные действия над линейными операторами

  • Понятие собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Характеристическая матрица и характеристический многочлен матрицы. Подобные матрицы, их характеристические многочлены

  • Характеристический многочлен и характеристические корни линейного оператора

  • Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям линейного оператора.

  • Теорема о существовании базиса, состоящего из собственных векторов линейного оператора

  • Понятие линейного оператора. Лекция 28 Понятие линейного оператора


    Скачать 35.69 Kb.
    НазваниеЛекция 28 Понятие линейного оператора
    АнкорПонятие линейного оператора.docx
    Дата14.01.2018
    Размер35.69 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаПонятие линейного оператора.docx
    ТипЛекция
    #10724

    Лекция 28

    Понятие линейного оператора

    Определение 1. Рассмотрим два линейных пространства R и R1 над полем K. Оператором ã называется любое правило, согласно которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , такой, что . Вектор называется образом вектора , а вектор - прообразом вектора .

    Определение 2. Оператор ã называется линейным, если выполняются следующие 2 условия:

    a) ;

    b) .

    Матрица линейного оператора в заданном базисе

    Пусть и – линейные пространства размерности n и m соответственно. Пусть A – линейный оператор, действующий из L1 в L2. Зафиксируем в пространстве L1 базис . Рассмотрим действие линейного оператора A на векторы базиса Разложим векторы по базису :









    Коэффициенты этих разложений образуют матрицу , которая называется матрицей линейного oператора A в паре базисов e и f.

    Основные действия над линейными операторами

    Пусть L1 и L2 – произвольные линейные пространства.

    Определение. Операторы и называются равными, если .

    Определение. Суммой операторов и называется оператор , действующий по правилу

    Определение. Произведением оператора на действительное число λ называется оператор , действующий по правилу .

    Определение. Произведением операторов и называется оператор , действующий по правилу

    Определение. Пусть . Определим степень оператора A следующим образом: , где единичный оператор, действующий по правилу .

    Легко доказать следующие утверждения.

    Утверждение 1. Если A и B – линейные операторы, то также линейные операторы (при условии, что существуют).

    Утверждение 2. В конечномерных линейных пространствах произведению линейного оператора на число, сумме линейных операторов и произведению линейных операторов соответствуют такие же действия с их матрицами.

    Понятие собственного вектора и собственного значения линейного оператора. Характеристическая матрица и характеристический многочлен матрицы. Подобные матрицы, их характеристические многочлены

    Пусть выражается линейно через :

    ,

    тогда с координатами переводятся в вектор с помощью линейного преобразования (1) с матрицей А.

    Пусть имеется линейное преобразование (оператор) с матрицей А, если существует , такая, что (2), то λ называется собственным числом (значением), а - собственным вектором линейного преобразования соответствующего числа λ.

    Из (2) следует , где E– единичная матрица.

    Матричное уравнение соответствует следующей системе уравнений:



    Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы ее определитель был равен 0, поэтому собственные значения являются корнями уравнения , то есть



    (5) называется характеристическим уравнением.

    Чтобы найти собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А, поступает следующим образом:

    1. составляют характеристическое уравнение (5);

    2. находим корни λ характеристического уравнения;

    3. каждое подставляется в систему (4). Находим все ее линейно-независимые решения, которые будут определять собственный вектор, соответствующий данному . Для каждого существует бесконечно много коллинеарных соответствующих векторов.

    Определение. Характеристическим многочленом относительно числа λ называется многочлен вида .

    Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

    Характеристический многочлен и характеристические корни линейного оператора

    Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора A.

    Теорема. Для того чтобы число λ являлось собственным значением

    оператора A, необходимо и достаточно, чтобы оно было действительным корнем характеристического уравнения оператора A.

    Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям линейного оператора.

    Теорема. Пусть собственные значения линейного оператора A попарно различны. Тогда система соответствующих им собственных векторов линейно независима.

    Доказательство.

    Доказательство опирается на метод математической индукции, проводимый по количеству n векторов в системе. При n = 1 утверждение теоремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор, согласно определении., является ненулевым.

    Пусть утверждение верно при n = m, то есть для произвольной системы из m собственных векторов . Добавим к системе векторов еще один собственный вектор , отвечающий собственному значению , и докажем, что расширенная таким способом система векторов останется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим, что она равна нулевому вектору:



    К равенству (1) применим линейный оператор A и в результате получим еще одно векторное равенство



    Учтем, что векторы являются собственными:



    Вспоминая, что система векторов , по предположению, линейно независима, делаем вывод, что у полученной линейной комбинации все коэффициенты равны нулю:



    Поскольку все собственные значения λi попарно различны, то из равенств (3) следует, что . Значит соотношение (1) можно записать в виде , а так как вектор ненулевой (как собственный вектор), то . В итоге получаем, что равенство (1) выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты , равны нулю. Тем самым мы доказали, что система векторов линейно независима.

    Теорема о существовании базиса, состоящего из собственных векторов линейного оператора

    Теорема 1. Матрица линейного оператора A, действующего в линейном пространстве, в данном базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными для оператора A.

    Доказательство:

    Пусть A — матрица линейного оператора A в базисе . Согласно определению, j-м столбцом матрицы A является столбец координат вектора Abj.

    Если матрица A является диагональной, то произвольно взятый ее j-й столбец имеет вид (0 . . . 0 µj 0 . . . 0)т (единственный ненулевой элемент стоит на j-м месте). Для вектора Abj получаем представление Abj = b(0 . . . 0 µj 0 . . . 0)т= µjbj, которое как раз и означает, что вектор bj является собственным с собственным значением µj. Значит, все базисные векторы являются собственными, а все диагональные элементы матрицы A являются собственными значениями.

    Верно и обратное. Если каждый вектор bj является собственным для линейного оператора A и ему отвечает собственное значение λj, то Abj = λjbj = b(0 . . . 0 λj 0 . . . 0)т, т.е. в матрице оператора A в этом базисе равны нулю все элементы, кроме диагональных, а диагональный элемент в j-м столбце равен λj.

    Следствие 1. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора является диагональной.

    Доказательство:

    Каждый действительный корень характеристического уравнения является собственным значением линейного оператора. Каждому из таких корней можно сопоставить хотя бы по одномусобственному вектору. Система выбранных таким образом векторов, согласно теореме о линейной независимости собственных векторов, является линейно независимой, а так как количество n векторов в ней равно размерности линейного пространства, она является базисом. Этот базис состоит из собственных векторов.

    Согласно теореме 1, матрица линейного оператора в этом базисе имеет диагональный вид.

    Следствие 2. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы порядка n имеет n попарно различных действительных корней, то эта матрица подобна некоторой диагональной.

    Доказательство:

    Пусть характеристическое уравнение матрицы A порядка n имеет n различных действительных корней. Выберем произвольное n-мерное линейное пространство L, зафиксируем в нем некоторый базис b = (b1, b2, . . . , bn) и рассмотрим линейный оператор A, матрицей которого в базисе b является матрица A. По теореме 1 существует базис, в котором матрица A'

    этого оператора диагональна. Матрицы A и A' подобны. Отметим, что

    на диагонали матрицы A' стоят все попарно различные собственные значения матрицы A.
    написать администратору сайта