Главная страница
Навигация по странице:

  • Литература.

  • Определение 2.

  • Пример 3.

  • Пример 1.

  • Материалы лекции 17. Литература. 1 49. Рассмотрим свойства частного вида аффинных преобразований, но крайне важного для их приложений


    Скачать 232.05 Kb.
    НазваниеЛитература. 1 49. Рассмотрим свойства частного вида аффинных преобразований, но крайне важного для их приложений
    АнкорМатериалы лекции 17.docx
    Дата25.05.2018
    Размер232.05 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаМатериалы лекции 17.docx
    ТипЛитература
    #17715

    Лекция 17. Аффинно - эквивалентные фигуры. Перспективно-аффинные преобразования, сжатие, родство. Аффинные преобразования пространства. Применение аффинных преобразований к решению задач.

    Литература. [1] § 49.
    Рассмотрим свойства частного вида аффинных преобразований, но крайне важного для их приложений.

    Определение 1. Аффинное преобразование называется перспективно-аффинным или родством, если оно отлично от тождественного и имеет, по крайней мере, две инвариантные точки.

    Приведем доказательство следующей теоремы.

    Теорема 4. Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его инвариантные точки, то произвольная точка прямой АВ является неподвижной, а любая инвариантная точка преобразования f принадлежит прямой АВ.

    Доказательство. Пусть M - произвольная точка прямой АВ. Из определения аффинного преобразования и его свойств, доказанных выше, вытекает, что f(M) принадлежит прямой, проходящей через точки f(A) и f(В), и: . По условию теоремы f(A) = A, f(B) = B. Поэтому точка f(M) принадлежит прямой AB и . Но на прямой AB существует единственная точка, делящая отрезок AB в данном отношении. Отсюда следует, что f(M) = M. Прямая AB целиком со стоит из инвариантных точек.

    Предположим, что существует такая точка C, которая не принадлежит прямой АВ и для которой f(C) = C. Тогда из следствия 2 теоремы 2, доказанной в § 34, вытекает, что преобразование f совпадает с тождественным. Мы получили противоречие определению 1. Теорема доказана.

    Определение 2. Прямая инвариантных точек перспективно-аффинного преобразования называется его осью.

    Пример 1. Даны аналитические выражения аффинного преобразования f



    Выяснить, является ли оно перcпективно-аффинным. Если да, то определить уравнение его оси.

    Решение. Найдем неподвижные точки данного преобразования. Их координаты совпадают с решениями системы уравнений: Преобразуем её к виду: Мы получили систему, которая имеет бесконечно много решений. Точки, координаты которых удовлетворяют её уравнениям, принадлежат прямой . Таким образом, данное преобразование  перспективно-аффинное, а прямая служит его осью.

    Выведем формулы перспективно-аффинного преобразования. Пусть f - родство с осью l. Выберем аффинный репер так, чтобы точки и принадлежали оси l. Аналитические выражения аффинного преобразования f имеют вид: По условию . Так как координаты этих точек равны: (0; 0), (1; 0), то подставив их в аналитические выражения преобразования f, получим: a = b = 0, Таким образом, аналитические выражения перспективно-аффинного преобразования в выбранном репере имеют вид:

    (34.4)

    Полученные формулы используем для доказательства следующей леммы.

    Лемма. Пусть f - перспективно-аффинное преобразование, M - произвольная точка плоскости, M’ = f(M). Тогда вектор коллинеарен некоторому постоянному вектору .

    Доказательство. Выберем аффинную систему координат так, чтобы её ось абсцисс совпадала с осью данного преобразования. Тогда формулы f имеют вид (34.4). Рассмотрим произвольную точку M с координатами x и y. Из (34.4) следует, что её образ имеет следующие координаты: Отсюда координаты вектора равны: {}. При любых x и y он коллинеарен вектору . Лемма доказана.

    Лемма позволяет обосновать следующие свойства перспективно-аффинного преобразования.

    Свойство 1. Соответствующие друг другу точки при перспективно-аффинном преобразовании лежат на параллельных прямых.

    Доказательство непосредственно вытекает из леммы. Действительно, если M и N образы точек M и N при данном родстве, то векторы и коллинеарны.

    Свойство 2. Если f перспективно-аффинное преобразование, M - произвольная точка плоскости, не принадлежащая его оси, M' - её образ при этом преобразовании, то прямая ММ инвариантна при преобразовании f.

    Доказательство. Возьмем произвольную точку N прямой ММ. Пусть . Согласно лемме, векторы и параллельны между собой. Поэтому точка N принадлежит прямой ММ. Точки прямой ММ преобразуются в точки этой же прямой. Она инвариантна относительно f.

    Свойство 3. Если прямая пересекает ось перспективно-аффинного преобразования в некоторой точке M, то её образ при этом преобразовании также проходит через M. Если прямая параллельна оси, то её образ также параллелен оси этого преобразования.

    Доказательство. Пусть прямая m пересекает ось l перспективно-аффинного преобразования в некоторой точке M. Тогда прямая содержит точку . Но, согласно теореме 1, . Отсюда следует, что m содержит точку M. Пусть прямая m параллельна оси l. Тогда, как было доказано выше, прямая параллельна прямой . Свойство доказано.

    Приведенные утверждения позволяют решить следующую задачу.

    Пример 2. Дана ось l перспективно-аффинного преобразования f и пара соответствующих точек M и . Построить образ произвольной точки N при этом преобразовании.

    Решение. Построим прямые ММ и MN. Обозначим их соответственно через m и n (рис. 158). Предположим, что n пересекает ось l в точке K. Тогда, согласно доказанным свойствам прямая также проходит через точку K, прямые и , где , параллельны между собой. Отсюда вытекает способ построения точки N. Строим :

    1) Прямую . 2) Прямую . 3) Точку К пересечения l и n. 4) Прямую q, проходящую через N и параллельную m. 5) Прямую . 6) Искомую точку N' как пересечение прямых q и n.

    Случай, когда точка N лежит на прямой, проходящей через M и параллельной l, разберите самостоятельно.

    Проведем классификацию перспективно-аффинных преобразований. Из свойства 2 следует, что прямые, соединяющие соответствующие точки перспективно-аффинного преобразования, являются инвариантными. Возможны два случая: первый  эти прямые не параллельны оси преобразования, и второй – они ей параллельны.

    Определение 3. Если прямые, соединяющие соответствующие точки перспективно-аффинного преобразования, не параллельны его оси, то оно называется косым сжатием плоскости, а направление таких прямых  направлением сжатия. Если эти прямые параллельны оси перспективно-аффинного преобразования, то оно носит название сдвига плоскости.

    Пусть дано косое сжатие f. Выберем аффинный репер ) так, чтобы точки и лежали на его оси l, a образ точки принадлежал прямой . Тогда координаты точки имеют вид: (0; k), где (самостоятельно объясните справедливость этого неравенства). В силу выбора репера аналитические выражения данного косого сжатия определяются соотношениями (34.4). Подставляя в них координаты точек и , получим:

    (34.5)

    Полученные формулы представляют собой аналитические выражения косого сжатия. Число носит название коэффициента сжатия. Если направление косого сжатия перпендикулярно оси, а коэффициент положителен, то оно называется сжатием к оси.

    Рассмотрим сдвиг f плоскости. Выберем аффинный репер следующим образом. В качестве точки О1 возьмем произвольную точку оси l данного перспективно-аффинного преобразования. Точка О3  произвольная точка плоскости, не принадлежащая оси l. Тогда прямая , где , параллельна оси l. Проведем через точку О3 прямую m, параллельную О1О3. Примем за базисную точку О2 точку пересечения прямых m и l (рис. 159). Точка О2 также принадлежит оси l. Поэтому аналитическое выражение сдвига имеет вид (34.4). Координаты точек О3 и О3 соответственно равны . Подставляя их в (34.4), получим: Формулы сдвига имеют вид:

    Пример 3. Доказать, что образом окружности при сжатии к оси, проходящей через её центр, является эллипс.

    Решение. Выберем ортонормированный репер так, чтобы его базисные точки и принадлежали оси l сжатия (рис 160). В этом репере уравнение окружности  имеет вид: Формулы сжатия к оси lимеют вид (34.5). Определим уравнение её образа окружности. Получим: , или Таким образом, уравнение образа является каноническим уравнением эллипса. Утверждение доказано.

    Определение аффинных преобразований пространства дословно совпадает с определением этого преобразования для плоскости: преобразование пространства называется аффинным, если оно коллинеарные точки переводит в коллинеарные и сохраняет простое отношение точек. Свойства аффинных преобразований пространства аналогичны свойствам аффинных преобразований плоскости. Они переводят прямую в прямую, луч - в луч, отрезок - в отрезок, не коллинеарные точки - в неколлинеарные, угол - в угол, репер пространства - в репер. Плоскость аффинным преобразованием пространства переводится в плоскость. Существует единственное аффинное преобразование пространства, которое один аффинный репер переводит во второй. Множество аффинных преобразований пространства образуют группу.

    Определение 1. Две фигуры F и F' называются аффинно-эквивалентными, если существует аффинное преобразование f, при котором f(F)= F.

    Из основного свойства аффинных преобразований (см. § 34) следует, что любые два треугольника аффинно-эквивалентны. Действительно, пусть даны треугольники АВС и ABC. Согласно указанному свойству, существует единственное аффинное преобразование, которое репер переводит в репер . При этом очевидно треугольник АВС преобразуется в треугольник ABC. Аналогично можно показать, что соответственно два отрезка, два луча или две прямые аффинно-эквивалентны между собой. Установим критерий аффинной эквивалентности двух четырехугольников.

    Теорема 1. Даны два четырехугольника АВСD и ABCD, О и O' - соответственно точки пересечения их диагоналей AC и BD, АС и ВD. Тогда эти четырехугольники аффинно-эквивалентны в том и только в том случае, когда совпадают следующие простые отношения:

    (АС,О) = (AC,O), (BD,O) = (BD,O). (35.1)

    Доказательство. Необходимость. Предположим, что данные четырехугольники аффинно-эквивалентны друг другу. Тогда существует аффинное преобразование f, переводящее первый четырехугольник во второй: . Диагонали AC и BD преобразуются соответственно в диагонали AС и ВD. Поэтому их точки пересечения соответствуют друг другу: . Так как при аффинном преобразовании сохраняются простые отношения, то равенства (35.1) - истинные.

    Достаточность. Предположим, что для двух четырехугольников выполнены соотношения (35.1). Докажем существование аффинного преобразования f, переводящего первый четырехугольник во второй. Рассмотрим реперы и (рис. 161). Согласно основному свойству аффинных преобразований (см. § 34), существует единственное аффинное преобразование f, переводящее первый репер во второй: . Тогда при этом преобразовании прямая AC переходит в прямую АС. Так как точка О принадлежит прямой АС, то  точка прямой АС. При аффинном преобразовании сохраняется простое отношение точек, поэтому . Отсюда и из соотношения (35.1) вытекает, что , следовательно, . Вершина D четырехугольника АВСD принадлежит диагонали ВО. Поэтому f(D) - точка прямой BO. В силу свойств аффинных преобразований, . Используя равенства (35.1), получим: . Поэтому, . Теорема доказана.

    Точка пересечения диагоналей любого параллелограмма служит их серединой. Поэтому для любых двух параллелограммов справедливы соотношения (35.1).

    Следствие. Любые два параллелограмма аффинно-эквивалентны.

    Таким образом, параллелограмм, ромб, прямоугольник и квадрат аффинно-эквивалентны.

    В § 21 была проведена классификация кривых второго порядка. Было показано, что эти кривые подразделяются на три типа: эллиптический, гиперболический и параболический, а также на девять классов (см. таблицу, приведенную в параграфе 21). В предыдущем параграфе мы доказали, что любой эллипс аффинно-эквивалентен окружности. Так как любые две окружности подобны между собой, то любые два эллипса аффинно-эквивалентны друг другу. Можно показать, что любые две кривые второго порядка, принадлежащие одному классу, аффинно-эквивалентны между собой, а кривые различных классов друг другу аффинно не эквивалентны.

    В § 20, изучая свойства кривых второго порядка, мы установили следующий замечательный факт: середины всех параллельных между собой хорд кривой второго порядка лежат на одной прямой. Такая прямая образует ее диаметр. Кроме того, если для кривой не параболического типа рассмотреть хорды параллельные этому диаметру, то их середины лежат на втором диаметре, параллельном хордам, определяющим первый. Такие диаметры называются сопряженными. На рисунке 162 изображен эллипс, и - его сопряженные диаметры, и - середины соответствующих хорд. При аффинном преобразовании параллельные отрезки преобразуются в параллельные отрезки, их середины  в середины, поэтому справедливо следующее утверждение.

    Теорема 2. При аффинном преобразовании диаметры кривой второго порядка преобразуются в диаметры, a сопряженные диаметры  в сопряженные диаметры её образа.

    Диаметры окружности тогда и только тогда сопряжены между собой, когда они перпендикулярны друг другу. Отсюда вытекает следствие теоремы 2.

    Следствие. Взаимно перпендикулярные диаметры окружности при аффинном преобразовании переходят в сопряженные диаметры эллипса.

    Теорема 2 устанавливает свойства кривых второго порядка, которые не меняются при аффинных преобразованиях или, как говорят, являются инвариантными относительно группы аффинных преобразований. Укажем на еще одно такое свойство, присущее треугольникам: при аффинном преобразовании медианы треугольника преобразуются в медианы образа, точка пересечения медиан переходит в точку пересечения медиан и сохраняется отношение, в котором она делит каждую медиану.

    В 1872 году, вступая в должность профессора Эрлангенского университета, выдающийся немецкий математик Феликс Клейн прочитал вступительную лекцию «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», известную под названием «Эрлангенской программы» Феликса Клейна. В этой работе был сформулирован общий подход к построению геометрических теорий и истолковано значение геометрических преобразований. Согласно этому исследованию геометрия изучает инварианты группы преобразований соответствующего многообразия. Так в евклидовой геометрии рассматриваются свойства фигур, инвариантных относительно группы подобия, аффинная геометрия изучает их свойства, инвариантные при аффинных преобразованиях. Этот принцип, сформулированный Ф. Клейном, оказал большое влияние на развитие геометрии.

    Рассмотрим примеры задач элементарной геометрии, при решении которых удобно использовать аффинные преобразования. Прежде всего, рассмотрим утверждение, которое часто используется при решении задач.

    Пример 1. Доказать, что при аффинном преобразовании сохраняется отношение площадей треугольников.

    Решение. Воспользуемся свойствами смешанного произведения векторов, которые были доказаны в § 7. Пусть даны некомпланарные векторы , и . Тогда объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен модулю смешанного произведения векторов: . Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим через и векторы: Пусть - единичный вектор, перпендикулярный к плоскости треугольника. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , совпадает с объемом параллелепипеда, построенного на векторах , и . Площадь S треугольника АВС равна половине площади этого параллелограмма, поэтому:

    (35.2)

    Пусть f - аффинное преобразование, - аффинная система координат, - её образ при преобразовании f. Обозначим координаты вершин треугольника АВС в первой системе координат через: . Как вытекает из следствия основного свойства аффинных преобразований доказанного в параграфе 34, точки имеют те же координаты относительно второй системы координат: . Разложим векторы и по базисным векторам первой системы координат:



    Подставив эти выражения в формулы (35.2), и используя свойства смешанного произведения векторов, упростим полученное выражение:

    =

    = =

    mod.

    Аналогично рассуждая, получаем, что площадь S треугольника ABC равна: S= mod. Отсюда получим: . Пусть даны треугольники и, и  их образы при преобразовании f, и - площади треугольников и , и  соответственно площади их образов, тогда: . Утверждение доказано.

    Пример 2. Дан параллелограмм АВСD, точка M принадлежит диагонали АС. Через M проведена прямая, параллельная АD, которая пересекает сторону DC в точке P. Доказать, что площади треугольников АВМ и АРD равны между собой.

    Решение. При аффинном преобразовании параллелограмм преобразуется в параллелограмм, параллельные прямые - в параллельные прямые, коллинеарные точки  в коллинеарные точки, a отношение площадей треугольников не меняется (см. пример 1). Поэтому данная задача носит аффинный характер, её условие не меняется при аффинном преобразовании. В таком случае обычно доказательство осуществляют для фигуры, аффинно-эквивалентной данной, но для которой рассуждения проводятся проще.

    Пусть дан параллелограмм АВСD (рис. 163). Как, было показано выше, параллелограмм аффинно-эквивалентен квадрату. Поэтому для решения задачи достаточно доказать требуемое утверждение для некоторого квадрата. Рассмотрим квадрат ABCD (см. рис. 163). Прямая l параллельна стороне AD и пересекает стороны AB и CD в точках Qи P. Обозначим длины отрезков АD и DP соответственно через a и b. Так как прямая l перпендикулярна стороне СD, а АС - диагональ квадрата, то треугольники АBQ  равнобедренный прямоугольный. Поэтому длина отрезка МQ равна b. Треугольник APD  прямоугольным, его площадь равна . С другой стороны, отрезок QM служит высотой треугольника ABM. Отсюда следует, что его площадь также равна . Утверждение доказано.
    написать администратору сайта