Главная страница
Навигация по странице:

  • ГЛАВА 1 Молекулярно-кинетическая теория 1 Состояние термодинамической системы. Процесс

  • 2 Уравнение состояния идеального газа

  • 3 Давление газа на стенку сосуда

  • 4 Средняя энергия молекул. Степени свободы

  • 5 Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса

  • модуль 1.8. модуль 1. Молекулярная физика и термодинамика


    Скачать 495.5 Kb.
    НазваниеМолекулярная физика и термодинамика
    Анкормодуль 1.8.doc
    Дата28.12.2017
    Размер495.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файламодуль 1.8.doc
    ТипДокументы
    #10079


    ФИЗИКА
    Модуль 1.8
    МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
    ГЛАВА 1 Молекулярно-кинетическая теория
    1 Состояние термодинамической системы. Процесс
    Термодинамической системой называется совокупность макроскопических тел, которые могут обмениваться энергией между собой и с внешней средой.

    Термодинамическая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой , давлением , объемом , плотностью . Подобные величины, характеризующие состояние системы, называются параметрами состояния.

    Состояние, в котором хотя бы один из параметров не имеет определенного значения, называется неравновесным.

    Состояние термодинамической системы будет равновесным, если все параметры состояния имеют определенные значения, не изменяющиеся с течением времени.

    Термодинамические системы, которые не обмениваются с внешней средой ни энергией, ни веществом, называются изолированными (или замкнутыми).

    Если систему, находящуюся в неравновесном состоянии, предоставить самой себе, то она перейдет в равновесное состояние. Такой переход называется процессом релаксации или просто релаксацией (латинское слово relaxatio означает уменьшение напряжения, ослабление). Время, за которое первоначальное отклонение какой-либо величины от равновесного значения уменьшается в раз, называется временем релаксации.

    Термодинамическим процессом называется переход системы из одного состояния в другое. Любой процесс происходит благодаря внешнему воздействию и проходит через последовательность неравновесных состояний. Но если такое воздействие осуществляется достаточно медленно, то можно сказать, что процесс проходит через последовательность равновесных состояний. Такой процесс называют равновесным или квазистатическим. Он может быть изображен, например, на диаграмме соответствующей кривой (рис. 1). Направление процесса показывают стрелкой.



    Рис. 1
    Неравновесные процессы мы будем изображать штриховой линией (рис.1). Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении через ту же совокупность равновесных состояний, т.е. по той же сплошной кривой (рис. 1), но в обратном направлении . По этой причине равновесные процессы называют обратимыми.

    Процесс, при котором система после ряда изменений возвращается в исходное состояние, называется круговым. Обратимый цикл изображается на координатной плоскости замкнутой кривой.
    2 Уравнение состояния идеального газа
    Соотношение, определяющее связь между параметрами состояния какого-либо тела, называется уравнением состояния этого тела.

    В простейшем случае равновесное состояние тела определяется значениями трех параметров: давления , объема и температуры . Установим связь между этими тремя параметрами

    Вначале остановимся на понятии температуры. В технике и быту используется температура, отсчитанная по шкале Цельсия. Единица этой шкалы называется градусом Цельсия (0С). В физике пользуются термодинамической температурой, которая более удобна и имеет глубокий физической смысл. Далее мы установим, что термодинамическая температура определяется средней кинетической энергией, приходящейся на одну молекулу газа. Единица термодинамической температуры – кельвин (К) является одной из основных единиц СИ, причем 10С = 1К. Термодинамическая температура по шкале Кельвина, связана с температурой по шкале Цельсия соотношением

    (К) (1.1)

    Температура, равная 0 К, называется абсолютным нулем температуры, ему соответствует = -273,150 С. Температуре = 00 С соответствует = 273,15 К.

    Опытным путем было установлено, что при обычных условиях (т.е.при комнатной температуре и атмосферном давлении) параметры состояния таких газов, как кислород и азот, довольно хорошо подчиняются уравнению

    , (1.2)

    где - константа, пропорциональная массе газа. Оказалось также, что чем разреженнее газ (чем меньше его плотность), тем точнее выполняется это уравнение.

    У разреженных газов молекулы практически не взаимодействуют друг с другом. Они лишь иногда сталкиваются друг с другом. Однако эти столкновения происходят настолько редко, что большую часть времени молекулы движутся свободно.

    Идеальным называется газ, в котором можно пренебречь взаимодействием между молекулами. Такой газ строго подчиняется уравнению (1.2), которое, следовательно, является уравнением состояния идеального газа.

    Одна из основных единиц СИ является единица количества вещества, называемая молем. Моль – это количество вещества, в котором содержится число частиц (атомов, молекул, ионов и т.д.), равное числу атомов в 12 г изотопа углерода 12С.

    Число частиц, содержащееся в моле вещества, называется постоянной Авогадро:

    моль-1 (1.3)

    Следовательно, в одном моле железа содержится атомов железа, в одном моле воды содержится молекул воды, в одном моле электронов содержится электронов и т.д.
    Массу моля обозначают буквой и называют молярной массой. Она равна

    , (1.4)

    где - масса молекулы, - относительная молекулярная масса молекулы, кг = 1 а.е.м. – атомная единица массы.

    Таким образом,

    .

    Это означает, что молярная масса, выраженная в граммах на моль, численно равна относительной молекулярной массе.

    Согласно закону Авогадро при нормальных условиях, т.е. при = 0 0С или

    = 273,15 К и давлении = 1 атм = 1,013·105 Па, объем моля любого газа равен = 22,4 л/моль = 22,4·10-3 м3/моль. Отсюда следует, что константа (в уравнении 1.2) будет одинаковой для всех газов. Обозначив константу для одного моля буквой , напишем уравнение состояния идеального газа следующим образом:

    , (1.5)

    где - молярный объем (объем одного моля газа).

    Константа называется универсальной газовой постоянной. Согласно закону Авагадро

    (1.6)

    Чтобы получить уравнение состояния для произвольной массы идеального газа, умножим обе части уравнения на число молей , которое называется количеством вещества

    .

    Учитывая, что объем газа , мы приходим к уравнению:

    или (1.7)

    Это есть уравнение состояния идеального газа, его называют уравнением Клапейрона – Менделеева.

    Умножим и разделим правую часть уравнения (1.7) на постоянную Авагадро :

    .

    Здесь - число молекул, содержащихся в массе газа.

    Величина

    (1.8)

    называется постоянной Больцмана.

    В результате получим

    (1.9)

    Разделим обе части уравнения на объем газа , обозначим , тогда

    (1.10)

    где - концентрация молекул.

    Уравнения (1.7), (1.9) и (1.10) представляют собой различные формы уравнения состояния идеального газа.
    3 Давление газа на стенку сосуда
    При своем движении молекулы газа ударяют о стенку сосуда, создавая тем самым давление газа на стенку. Вычислим это давление. При этом будем использовать статистический метод, интересуясь движением не отдельных молекул, а лишь такими средними величинами, которые характеризуют движение колоссальной совокупности молекул.

    Первый шаг на этом пути – выбор модели данной макросистемы.

    Простейшей моделью обладает идеальный газ. Будем считать, что

    1. молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом,

    2. в равновесном состоянии движение молекул полностью хаотично. Это позволяет в грубом приближении считать, что все молекулы движутся только направлениях , т.е. если в единице объема имеется молекул, то в каждом из этих направлений движутся по молекул или в одну сторону.

    Рассчитаем число ударов молекул о стенку. Разобьем молекулы в каждой единице объема на группы , в каждой из которых скорости молекул можно считать одинаковыми и равными , так что - полное число молекул в единице объема.

    Число молекул -ой группы, которые достигают за малый промежуток времени элемента стенки площадью , двигаясь перпендикулярно к нему, равно числу таких молекул в цилиндре длиной и сечением (рис. 2) т.е.



    Рис. 2
    .

    Отсюда следует, что число ударов в единицу времени о единицу поверхности стенки

    , или

    . (1.11)

    Суммируя по всем группам, находим

    .

    Разделим и умножим последнюю сумму на . В результате приходим к тому, что полное число ударов молекул о единицу поверхности стенки за единицу времени равно

    , (1.12)

    где - среднее значение скорости молекул.

    Оценим число для воздуха при нормальных условиях. Считая, что

    1019 см-3 и 1 км/с, получим

    1019·105 = 1024 с-1см-2

    А теперь определим давление газа на стенку. Для простоты будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении. До столкновения со стенкой молекула имела импульс и после столкновения – импульс .

    Приращение импульса молекулы в результате столкновения

    .

    Такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка согласно закону сохранения импульса.

    Импульс, передаваемый в единицу времени единице поверхности стенки молекулами -й группы, найдем с помощью (1.11):

    .

    Результирующее давление получим, просуммировав по всем группам молекул:

    .

    Разделив и умножив последнюю сумму в этой формуле на , приходим к выражению:

    , (1.13)

    где - среднее значение квадрата скорости молекул.

    Выражение (1.13) можно переписать иначе:

    , (1.14)

    где - средняя энергия поступательного движения молекулы.

    Формулу (1.14) называют основным уравнением кинетической теории газов. Она раскрывает физический смысл макропараметра : давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул.
    4 Средняя энергия молекул. Степени свободы
    Из сравнения выражений

    и

    (см. формулы (1.10) и (1.14)) следует, что

    (1.15)

    Таким образом, термодинамическая температура есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.

    Представив в виде

    , можно получить из соотношения (1.15) выражение для среднего значения квадрата скорости молекулы

    (1.16)

    Корень квадратный из этой величины называется среднеквадратичной скоростью молекул:



    или (1.17)

    .

    Только поступательно движутся лишь одноатомные молекулы. Двух- и многоатомные молекулы, кроме поступательного, могут совершать также вращательное и колебательное движение.

    Рассмотрим понятие числа степеней свободы механической системы.

    Числом степеней свободы системы называется количество независимых координат,

    с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве.

    Положение материальной точки определяется значениями трех ее координат, например, декартовых координат .

    В соответствии с этим материальная точка имеет три степени свободы.

    Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательные степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая («гантель»), то кроме трех поступательных, она имеет и две вращательные, связанные с углами поворота вокруг двух взаимно перпендикулярных осей 1-1 и 2-2, проходящих через центр масс , как показано на рис.3. Вращение вокруг оси молекулы лишено смысла для материальных точек (атомов).



    Рис. 3

    Таким образом, жесткая двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательные и две вращательные.

    Если молекула упругая, то возможны колебания атомов и необходима еще одна степень свободы (расстояние между атомами). Ее называют колебательной.

    Тот факт, что средняя энергия поступательного движения молекул равна , означает, что на каждую степень свободы в среднем приходится

    энергия .

    Согласно закону о равном распределении энергии по степеням свободы на каждую степень свободы (поступательную, вращательную, колебательную) в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная .

    Колебательное движение связано с наличием у колеблющейся системы не только кинетической, но и потенциальной энергии.

    В разделе «Механические колебания» доказывается, что средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора одинаковы. Отсюда следует, что колебательная степень свободы молекулы обладает, по сравнению с поступательной и вращательной, удвоенной энергетической емкостью – на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем две половинки - одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной энергии.

    Итак, средняя энергия молекулы

    , (1.18)

    где - сумма числа поступательных (), вращательных () и удвоенного числа колебательных () степеней свободы:

    (1.19)
    5 Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
    Поведение таких газов как гелий, водород, азот, кислород хорошо описывается уравнением состояния идеального газа:



    лишь до тех пор, пока суммарный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда, в котором заключен газ. С ростом давления (при ) оказывается, что .

    Причин этому две:

    1. собственный размер молекул; он и уменьшает объем, доступный для движения молекул, при нормальных условиях он составляет 0,07% объема сосуда с газом, а при 100 атм. уже 70%.

    2. сложный характер взаимодействия между молекулами.

    Типичная кривая зависимости энергии взаимодействия от расстояния между их центрами приведена на рис. 4. На малых расстояниях () молекулы отталкиваются, на больших () - притягиваются.


    Эти причины можно учесть путем введения поправок в уравнение состояния идеальных газов, что и сделал Ван-дер-Ваальс. В результате уравнение состояния одного моля реального газа приняло вид:

    . (1.20)

    Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса.



    Рис. 4
    Здесь и - постоянные Ван-дер-Ваальса, для разных газов они имеют свои значения.

    Если мы имеем дело не с одним, а с молями газа объемом , то в уравнении (1.20) следует сделать замену:

    .

    В результате уравнение для произвольной массы газа будет иметь вид:

    (1.21)

    Поправка в первой скобке уравнения (1.20) обусловлена силами притяжения между молекулами. Она имеет размерность давления, и ее иногда называют внутренним давлением. На стенку сосуда такой газ оказывает давление . Однако, если бы силы притяжения между молекулами мгновенно исчезли, то давление на стенку стало бы . То есть при переходе от идеального газа к реальному давление на стенку уменьшается из-за сил притяжения между молекулами.

    Поправка , как легко сообразить, связана с собственным объемом молекул, ее размерность м3/моль.

    Газ, подчиняющийся уравнению (1.20) называют ван-дер-ваальсовским.

    Задачи
    Задача 1 Найти давление, при котором плотность углекислого газа с температурой = 300 К окажется равной = 500 кг/м3.
    Решение
    Считая газ ван-дер-ваальсовским, подставим в уравнение



    ; . Получим



    Для углекислого газа

    , , . В результате подстановки найдем атм. Расчет же по формуле , из которой следует, что , дает 280 атм. Различие весьма значительное.
    Задача 2 Средняя квадратичная скорость молекул, некоторого газа при нормальных условиях ( = 00 С, = 273 К, = 1 атм = 105 Па) равна 461 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 кг этого газа?
    Решение
    Согласно (1.17) средняя квадратичная скорость

    , отсюда

    Число молекул

    .
    Задача 3 Чему равна энергия теплового движения 20 г кислорода О2 при температуре 100 С? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного и какая – на долю вращательного движения?
    Решение
    Средняя энергия теплового движения одной молекулы газа определяется выражением

    .

    Учитывая, что , получим энергию теплового движения молекул газа

    .

    Для двухатомного газа число степеней свободы = 5, причем .

    Тогда на долю поступательного движения приходится

    Дж,

    а на долю вращательного движения

    Дж.
    Задача 4 Баллон содержит = 80 г кислорода и = 320 г аргона. Давление смеси = 1МПа, температура = 300К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем баллона.
    Решение
    По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

    По уравнению Клапейрона - Менделеева парциальные давления кислорода и аргона выражаются формулами:

    и .

    Следовательно, давление смеси газов

    ,

    отсюда

    .

    Подставим численные значения и произведем вычисления:


    Задача 5 Давление смеси азота и водорода при температуре = 320 К и плотности = 0,3 г/л равно = 2 атм. найти концентрации молекул азота и водорода в смеси.
    Решение
    По закону Дальтона . Так как , , то

    . (1)

    Масса смеси , где

    , так как - масса молекулы азота, - число молекул в объеме .

    Аналогично

    .

    Учитывая, что , получим



    или

    (2)

    Решая систему уравнений (1) и (2) относительно и и учитывая, что ,

    ;

    получим

    ,

    Подставив численные значения физических величин в единицах СИ: Па, = 0,3 кг/м3, = 0,028 кг/моль, = 0,002 кг/моль, = 8,31 Дж/(моль·К),

    = 1,38·10-23 Дж/К, получим

    м-1, м-1.
    Задача 6 Уравнение процесса. Найти максимально возможную температуру одного моля идеального газа, совершающего процесс , где и - положительные постоянные.
    Решение
    Для этого следует сначала найти зависимость , а затем из условия определим .

    Итак, учитывая, что , запишем данный в условии процесс в виде:

    . (1)

    Дифференцируем это уравнение по :

    (2)

    Отсюда , соответствующая максимуму , равно .

    Подстановка этого выражения в (1) дает:

    .

    Тесты
    1. В сосуде находится 2 моля гелия. Сколько примерно атомов гелия находится в сосуде?

    1. – 6,62∙1034; 2. – 6,02∙1023; 3. – 2,408∙1024; 4. – 12,04∙1023; 5. – среди ответов нет правильного.

    2. Чему равно число степеней свободы атома аргона?

    1. – 1; 2. – 2; 3. – 3; 4. – 4; 5. – 5.

    3. Абсолютная температура определяет:

    1. – внутреннюю энергию; 2. – запас теплоты; 3. – запас работы; 4. – количество вещества; 5. – концентрацию частиц.
    4. Число Авогадро равно:

    1. – 9,1∙10–19 Кл; 2. – 8,85∙10–12 Ф/м; 3. – 6,02∙1023 моль–1; 4. – 8,3 Дж/(К∙моль); 5. – 9∙109 Н∙м2/Кл2.

    5. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна:

    1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

    6. Равновесное состояние термодинамической системы – это состояние, при котором…

    1. – все термодинамические параметры системы соответствуют нормальным условиям; 2. – все термодинамические параметры системы могут заметно меняться даже при неизменных внешних условиях; 3. – все термодинамические параметры системы имеют постоянное значение даже при изменении внешних условий; 4. – лишь часть термодинамических параметров системы имеет постоянное значение, не меняющееся при неизменных внешних условиях; 5. – все термодинамические параметры системы имеют постоянное значение, не меняющееся при неизменных внешних условиях.

    7. Как меняется средняя квадратичная скорость молекул идеального газа с изменением объема газа  V в изобарном процессе?

    1. – Увеличивается с увеличением V; 2. – Уменьшается с увеличением V; 3. – Увеличивается при любом изменении V; 4. – Остается неизменной при любом изменении V; 5. – Уменьшается при любом изменении V.

    8. Каков объем 10 молей углекислого газа при нормальных условиях?

    1. – 22,4 м3; 2. – 22,4 л; 3. – 44 м3; 4. – 0,224 м3; 5. – 440 л.

    9. В стальном баллоне находится идеальный газ. Как изменится давление газа, если половину газа выпустить из сосуда, а абсолютную температуру газа уменьшить в 2 раза?

    1. – уменьшится в 2 раза; 2. – увеличится в 2 раза; 3. – не изменится; 4. – увеличится в 4 раза; 5. – уменьшится в 4 раза.

    10. Диаметр атомов в СИ имеет порядок:

    1. – 10–3 м; 2. – 10–6 м; 3. – 10–1 м; 4. – 10–10; 5. – 10–15 м.

    11. Какой параметр x идеального газа можно определить по формуле , где p – давление газа; k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура идеального газа.

    1. – объем; 2. – давление; 3. – температура; 4. – концентрация молекул; 5. – средняя квадратичная скорость молекул.

    12. Выберите правильное утверждение о распределении энергии по степеням свободы.

    1. – При одинаковой температуре молекулы всех идеальных газов имеют одинаковую энергию; 2. – Молекулы всех газов, обладающие одним и тем же числом степеней свободы, имеют одинаковую энергию; 3. – На каждую поступательную и вращательную степени свободы молекулы идеального газа приходится одна и та же энергия, равная kT/2; 4. – Энергия молекул зависит от температуры газа и не зависит от числа степеней свободы; 5. – На каждую поступательную и вращательную степени свободы молекулы идеального газа приходится одна и та же энергия, равная RT/2.

    13. Во сколько раз уменьшилось давление идеального газа при уменьшении средней квадратичной скорости молекул газа в 4 раза?

    1. – давление не изменилось; 2. – в 2 раза; 3. – в 4 раза; 4. – в 8 раз; 5. – в 16 раз.

    14. Во сколько раз изменилось давление идеального газа в сосуде постоянного объема, если его абсолютная температура уменьшилась в 9 раз?

    1. – возросло в 3 раза; 2. – уменьшилось в 6 раз; 3. – возросло в 9 раз; 4. – уменьшилось в 9 раз; 5. – давление не изменилось.

    15. Какая физическая величина x вычисляется по формуле x = nkT? Здесь n – концентрация молекул, T – абсолютная температура идеального газа.

    1. – средняя кинетическая энергия молекул; 2. – давление газа; 3. – средняя скорость молекул; 4. – внутренняя энергия идеального газа; 5. – абсолютная температура.

    16. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории имеет вид:

    1. – ; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. – .

    17. Уравнение Ван-дер-Ваальса описывает состояние:

    1. – замкнутой системы (уравнение состояния); 2. – изменение энергии замкнутой системы; 3. – изменение импульса замкнутой системы; 4. – идеального газа; 5. – реального газа.

    18. В сосуде смесь газов: 1 моль 4He и 1 моль неона 20Ne. Одинаковое ли парциальное давление оказывает каждый из газов на стенки сосуда?

    1. – парциальные давления гелия и неона одинаковы; 2. – давление гелия больше; 3. – давление неона больше; 4 – нет возможности вычислить парциальное давление отдельного газа.

    19. По международному соглашению массы всех атомов и молекул сравнивают:

    1. – с 1/12 массы атома водорода; 2. – с 1/12 массы атома кислорода; 3. – с 1/12 массы атома углерода; 4. – с 1/24 массы атома хлора; 5. – с 1/92 атома урана.

    20. В идеальном газе…

    1. – молекулы на расстоянии не взаимодействуют, их столкновения носят характер упругого удара; 2. – молекулы на расстоянии притягиваются, их собственный объём пренебрежимо мал по сравнению с объёмом, в котором газ находится; 3. – молекулы на расстоянии отталкиваются, их столкновения носят характер упругого удара; 4. – столкновения молекул носят характер неупругого удара; 5. – собственным объёмом молекул газа нельзя пренебречь по сравнению с объёмом, в котором газ находится.

    21. Учёт какого физического фактора приводит к появлению члена в уравнении Ван-дер-Ваальса ?

    1. – Отталкивания молекул на близких расстояниях; 2. – Притяжения молекул на больших расстояниях; 3. – Неупругого столкновения молекул; 4. – Объёмом молекул нельзя пренебрегать по сравнению с объёмом газа; 5. – Хаотического движения молекул




    написать администратору сайта