Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Биология
Информатика
Начальные классы
Медицина
Сельское хозяйство
Ветеринария
Вычислительная техника
Религия
Философия
Логика
Этика
История
Дошкольное образование
Воспитательная работа
Социология
Политология
Физика
Языки
Языкознание
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Строительство
Энергетика
Промышленность
Связь
Автоматика
Электротехника
Другое
образование
Доп
Физкультура
Технология
Классному руководителю
Химия
Геология
Искусство
Культура
Иностранные языки
Экология
Логопедия
География
ИЗО, МХК
Казахский язык и лит
Директору, завучу
Школьному психологу
Социальному педагогу
Обществознание
Языки народов РФ
ОБЖ
Музыка
Механика
Украинский язык
Астрономия
Психология

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ2. Программа для эвм отладка проверка соответствия результатов математической модели тестовым задачам


Скачать 1.04 Mb.
НазваниеПрограмма для эвм отладка проверка соответствия результатов математической модели тестовым задачам
АнкорЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ2.doc
Дата30.04.2017
Размер1.04 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ2.doc
ТипПрограмма
#775
страница1 из 4
  1   2   3   4

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Метод конечных разностей (МКР)
Эффективное решение крупных естественно-научных и промышленных задач сегодня не возможна без применения ЭВМ. Технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта, называется вычислительным экспериментом.

Схема исследования какого-либо физического объекта, явления, процесса (вычислительный эксперимент) следующая:



  1. Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (отбрасываются факторы, являющиеся не существенными для хода процесса);

  2. Строится соответствующая математическая модель, обычно представляющая собой запись законов сохранения в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных);

  3. Ищется решение математической задачи. На этом этапе возникает необходимость применения численных методов и использования ЭВМ. Под численным методом понимается такая интерпретация мат. модели (дискретный аналог, дискретная модель), которая доступна для ЭВМ (есть простые действия взамен интегралов, дифференциалов и т.д.). Как правило сегодня это алгебраический аналог системы уравнений мат.физики;

  4. Для реализации численного метода составляется программа для ЭВМ; отладка – проверка соответствия результатов математической модели тестовым задачам;

  5. Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и корректируется математическую модель.

Предметом данного курса является этап построения, исследования и программной реализации численного метода – МКР, хотя существует целый ряд равноценных численных методов (МКЭ, МГЭ,ММ и Я и др.)с точки зрения получения адекватного результата.

Схематично любой численный метод решения систем дифференциальных или интегральных уравнений можно разделить на следующие шаги:

  1. Строится дискретный аналог области непрерывного изменения аргумента – конечное множество точек, называемое сеткой. Сетка один из основных признаков численного метода.

  2. Водится в рассмотрение сеточная функция, определенная только в узлах сетки.

  3. На сетке производится дискретизация математической модели, состоящая в приближенной замене производных и интегралов алгебраическими соотношениями сеточных функций, получаем алгебраический аналог математической модели. Способ дискретизации и составляет суть того или иного численного метода.

  4. Тем или иным методом решается система алгебраических уравнений. Часто дискретизация производится с ориентацией на какой-либо эффективный метод решения алгебраической задачи.

Говорят, что ЧМ сходится, если при неограниченном росте числа алгебраических уравнений (узлов сетки) решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи. ЧМ устойчив, если в процессе счета погрешности округления не накапливаются, не искажают значительно конечный результат.
Основные понятия
МКР, или метод сеток, в настоящее время является одним из наиболее распространенных методов приближенного решения краевых задач.

Суть метода в следующем:

  1. Область непрерывного изменения аргумента (отрезок, прямоугольник и т.д.) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой.

  2. Вместо функции непрерывного изменения аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями.

  3. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями, т.е. линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки.

  4. В результате краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных, если исходная задача была линейной, алгебраических уравнений (системе разностных уравнений) – разностной схемой.

Если, полученная таким образом задача разрешима и ее решение при измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи для дифференциального уравнения, то оно и принимается за приближенное решение исходной задачи.

Несмотря на внешнюю простоту метода, прежде, чем приступить к решению конкретной задачи, необходимо уметь дать ответы на следующие вопросы:

  1. как выбрать сетку?

  2. Как написать разностную схему?

  3. Насколько хорошо разностная схема аппроксимирует исходную задачу?

  4. Устойчива ли разностная схема и в каком смысле?

  5. Какова скорость сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи?

СЕТКИ И СЕТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Итак, заменим область непрерывного изменения аргументов Gискомой функции Т некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество назовем разностной сеткой, сами точки – узлами сетки, а функции, определенные на этой сетке, - сеточными функциями.

Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависит от выбора сетки. Расположение узлов сетки в области может быть произвольным и определяться спецификой решаемой задачи. Рассмотрим несколько примеров

  1. равномерная сетка на отрезке

В простейшем случае одномерной задачи можно ввести равномерную сетку. Для этого [0,l] - отрезок, область изменения аргумента разобьем точками на равных частей длины , рис 1.



Рис.1. Разностная сетка на отрезке
Множество точек называется равномерной сеткой на отрезке [0,l] и обозначается ,h – шаг сетки.

В качестве области определения сеточных функций кроме узлов, называемых еще целыми точками, часто используют полуцелые точки , отмеченные на рис.1 крестиками.

  1. неравномерная сетка на отрезке

Рассмотрим тот же отрезок [0,l]. Введя произвольные точки , разобьем его на N частей. Тогда получим сетку с шагом , который зависит от номера i узла . Если хотя бы для одного номера i , то - неравномерная сетка.

Очевидно, что .


  1. равномерная сетка на плоскости



Рассмотрим множество функций двух аргументов. В качестве области определения выберем прямоугольник

,

например, Рис.2.



Рис.2. Разностная сетка на плоскости
Построим на каждом отрезке сетку с шагом . Множество узлов с координатами () назовем сеткой в прямоугольнике



Эта сетка равномерна по каждому из переменных и . Если хотя бы одна из сеток неравномерна, то сетка называется неравномерной. Если , то сетка называется квадратной, - прямоугольной.

Приведем пример неравномерной изометрической сетки на плоскости. Область G представляет собой кольцо, покроем его окружностями , где и лучами , рис.3.


Рис.3. Разностная сетка на плоскости кольца


  1. сетка на плоскости в произвольной области


Пусть на плоскости дана область G сложной формы с границей Г рис.4.. Проведем прямые





Рис.4. разностная сетка на области сложной формы

Тогда на плоскости получим сетку с узлами , . Эта сетка равномерна по каждому направлению. Нас интересуют только те узлы, которые принадлежат области G с границей Г .

Узлы, попавшие внутрь G, назовем внутренними узлами и обозначим их совокупность . Точки пересечения прямых с границей Г назовем граничными узлами, а их множество обозначим . Видно, что имеются граничные узлы, которые отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстояния меньшем . Таким образом, сетка для области G неравномерна вблизи границы.

Рассматривают два возможных способа задания граничных условий для сложной области:

- ввести дополнительные узлы в точках пересечения линий сетки с границей и в них задать граничные условия;

- границу области аппроксимировать ломаной, проходящей через ближайшие к границе естественные узлы и перенести по определенному закону граничные условия на эту ломаную линию .

Для решения, например, одномерных нестационарных задач, используют произведение сеток – сетки по координате и сетки по времени, называемой пространственно-временной сеткой .Совокупность узлов, лежащих на линии , называют i– м слоем.

Вопрос оптимального выбора шага сетки и тем самым количества ее узлов является непростым. С одной стороны, чем большая требуется точность, с которой необходимо получить решение, тем более мелкий шаг желателен. С другой стороны, слишком мелкий шаг значительно увеличивает число неизвестных. Очевидно, должны существовать некоторые оптимальные сетки со сравнительно небольшим числом узлов, называемыми реальными сетками или грубыми.

Построение разностной схемы проводится таким образом, чтобы получаемая в результате решения сеточная функция была как можно ближе к искомой непрерывной функции.

Вместо функций непрерывного аргумента будем рассматривать сеточные функции , т.е. функции точки , являющейся узлом сетки в виде вектора .

Для оценки близости приближенного решения (решения на сетке) к точному решению исходной краевой задачи можно использовать два способа

  1. Производится интерполяция сеточной функции на все точки области G, после чего определяется норма разности .

  2. Точное решение преобразуется в сеточную функцию ( - одно из возможных обозначений сеточных функций), после чего, определив сеточную норму , оценивается погрешность приближенного решения в этой норме. На практике в качестве сеточных норм используются:

а) сеточный аналог чебышевской нормы в пространстве непрерывных функций С

б) сеточный аналог гильбертовой нормы в , где h=h в одномерном случае и в двумерном.

Тогда если при бесконечном дроблении сетки величина , то можно говорить о близости решения разностной и краевой задачи.
АППРОКСИМАЦИЯ ППРОИЗВОДНЫХ. ПОРЯДОК АППРОКСИМАЦИИ.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ.
Решение исходной задачи, таким образом, сводится к нахождению числовых значений функции в точках сетки на соответствующей области. Для приближенного вычисления этой таблицы необходимо дифференциальный оператор краевой задачи А, заданный в классе непрерывных функций, приближенно заменить (аппроксимировать) разностным оператором , заданном на множестве сеточных функций. Разностный аналог, аппроксимирующий исходную краевую задачу, можно построить различными способами. В связи с этим возникает задача построения такой разностной схемы, которая была бы оптимальной в определенном смысле. Обычно требуют, чтобы построенная разностная схема на сравнительно грубых сетках обеспечивала необходимый уровень точности для получаемого приближенного решения. Среди множества возможных конструктивных подходов к построению разностных аналогов для дифференциальных операторов выделим основные:

- метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями;

- интегро-интерполяционный метод;

- вариационные методы построения разностных схем;

- метод неопределенных коэффициентов.

Метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями. Метод конструирования разностных схем с помощью замены производных конечно-разностными выражениями основан на использовании разложения в ряд Тейлора достаточно гладких функций. Заменим производную, входящую в дифференциальной уравнение, разностным соотношением, содержащим значение сеточной функции в нескольких узлах сетки, образующих некоторую определенную конфигурацию. Такая совокупность узлов называется шаблоном. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называют регулярными, а остальные узлы – нерегулярными. Рассмотрим возможные способы аппроксимации дифференциального оператора вида:

(1)

определенного на множестве непрерывных функций в области G={d<x<b}, имеющих ограниченные производные третьего порядка включительно. Пусть - равномерная сетка на отрезке. Тогда наиболее естественный способ замены производной основывается на определении производной как предела

.

Если зафиксировать h в этом равенстве, то получим приближенную формулу для первой производной через конечные разности

.

Или в k-м узле имеем правое разностное отношение

(2)

Аналогично вводится левое разностное соотношение

. (3)

Можно рассматривать и линейную комбинацию (2) и (3)

, (4)

где - любое вещественное число. При получим центральное разностное соотношение

. (5)

На рис.5 представлена геометрическая интерпретация производной в точке и ее разностная аппроксимация. Линия D отражает истинное значение производной в точке С, правую разность – линия СВ, левую – АС, центральную – АВ. Значение тангенса угла наклона прямой АВ ближе к значению тангенса прямой D.

Рис.5. Геометрическая интерпретация разностей
При замене оператора разностным выражением (2) –(4) допускается погрешность называемая погрешностью аппроксимации оператора А разностным оператором в точке x.

Для вычисления оценки разложим T(x) в каждом внутреннем узле сетки в ряд Тейлора:

. (6)

Тогда в точке получим следующие выражения, соответствующие разностным соотношениям (2)- (5):

(7)

(8)

(9)

(10)

Факт аппроксимации в точке называют часто локальной аппроксимацией. Тогда из равенств (6)-(10) следует, что порядок локальных аппроксимаций оператора в узловой точке сетки разностными операторами (2)- (5) равен единице в первых трех случаях и двум – в последнем.

Отметим, что разностная производная (2) является правой относительно узла и в то же время левой относительно узла . Относительно полуцелой точки эта же производная будет центральной. Поэтому разностная производная (2) аппроксимирует производную dT/dx с первым порядком точности в узлах k и k+1 и со вторым порядком в полуцелой точке k+1/2.

Таким образом, видим, что выбор шаблона существенно влияет на свойства разностного оператора.


Рис.6. Виды шаблонов

Рассмотрим аппроксимацию второй производной . В отличие от первой производной, для которой достаточно двухточечного шаблона, для второй производной выберем трехточечный шаблон ().

(11)

Пользуясь разложением в ряд Тейлора функции (6), получим, что порядок аппроксимации в этом случае равен двум, так как:





Рассмотрим оператор одномерного уравнения теплопроводности

(12)

в области , предполагая, что функция температуры непрерывна вместе со своими производными до четвертого порядка по переменной x и до второго порядка производной по времени . Область непрерывного изменения аргумента заменим сеточной областью

,

Аппроксимируем производную по времени правым разностным соотношением

, (13)

а для второй производной по переменной x запишем разностное соотношение (11) на временном слое i:

(14)

или на временном слое i+1

. (15)

В соответствии с этим можно рассмотреть две различных аппроксимации оператора (12) на шаблонах, приведенных на рис.6

(16)

(17)

Погрешность локальной аппроксимации оператора (12) разностными операторами (16),(17) будет равна соответственно



Оператор (12) можно аппроксимировать и на шеститочечном шаблоне, образовав линейную комбинацию уравнений (16), (17):

(18)

Оценим порядок локальной аппроксимации оператора (12) разностным оператором (18)


Если предположить, что , то При Т.е. в этом случае оператор A[T] аппроксимируется со вторым порядком точности по .
Метод интегральных тождеств. Интегро-интерполяционныи метод. При численном решении кра­евых задач естественно потре­бовать, чтобы для построенной разностной схемы выполнялись основные законы сохранения субстанции (теплоты, энергии, массы и т.п.), положенные в основу при постановке краевой задачи в дифференциальной форме. Разностные схемы, для ко­торых удовлетворяется это требование, называются консервативными; схемы, в которых нарушаются законы сохранения, - неконсерватив­ными. А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским предложен один из наиболее эффективных методов построения консервативных разностных схем – интегро-интерполяционный.

Суть метода состоит в следующем. После выбора шаблона область измене-ния независимых переменных разбивается на элементарные ячейки, связанные с шаблоном. Затем исходное дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и приходят с помощью формул векторного анализа к интегральным соотно­шениям, выражающим законы сохране­ния для этой элементарной ячейки. Ин­тегралы и производные, входящие в эти соотношения, заменяются затем раз­ностными отношениями так, чтобы не нарушались законы сохранения. 'По­скольку разностные отношения могут быть взяты не единственным образом, то можно получить различ­ные разностные схемы. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности с переменной теплопроводностью
(1)

Раскроем (1):



На первый взгляд для получения аппроксимаций второго порядка естественно произвести замены



тогда получим схему

(2)



Решение по такой разностной схеме приводит к неверному результату. Решение расходится. Математически это обозначает накопление ошибки, с физической – не выполнение закона сохранения энергии (возникновение дополнительных источников притока или стока тепла). Это пример неконсервативной схемы.

При написании разностных схем следует добиваться того, чтобы последние выражали на сетке соответствующие законы сохранения, в данном случае – закон сохранения энергии (консервативные схемы). Для написания консервативной схемы используем уравнение баланса, записанного для элементарных объемов (ячеек) сеточной области. Входящие в уравнение баланса интегралы и производные заменим приближенными разностными соотношениями.

Рассмотрим более сложное уравнение

(3)

Это уравнение описывает стационарное распределение температуры в стержне

Запишем уравнение баланса тепла на отрезке . Для этого проинтегрируем уравнение (3) в пределах этого отрезка:

(4)
- количество тепла втекающего через сечение на отрезке , - количество тепла вытекающего через сечение на том же отрезке, - количество тепла выделившегося на отрезке за счет распределенных с плотностью источников тепла, -количество тепла отданного внешней среде за счет теплообмена на боковой поверхности.

Пусть на отрезке тогда



Т.е. - среднее значение k(x) на отрезке , длиной h.

Проинтегрируем равенство на отрезке



пусть на отрезке , тогда

,

где , - тепловое сопротивление отрезка , найдем

(5)
Рассмотрим отрезок и проинтегрируем на нем выражение , получим:

.

Пусть на рассматриваемом отрезке , тогда



(6)

где . Подставим в выражение (4) найденные величины (5) и (6)

(7)

(7) – консервативная разностная схема
Таким образом, одним из преимуществ интегро-интерполяционного метода является возможность его применения для уравнений с разрывными коэффициентами, так как интегральная запись закона сохранении субстанции позволяет выделить из всех математически допустимых решений краевой задачи именно то, которое представляет физически правильное обобщенное решение.
  1   2   3   4
написать администратору сайта