Главная страница
Навигация по странице:

  • 14. Дать определение минора. Какие миноры называются окаймляющими для данного минора матрицы

  • 18. Перечислить различные формы записи системы линейных алгебраиче- ских уравнений (СЛАУ). Какая СЛАУ называется совместной

  • Программа для подготовки к рубежному контролю 2 по аналитической геометрии


    Скачать 175.8 Kb.
    НазваниеПрограмма для подготовки к рубежному контролю 2 по аналитической геометрии
    АнкорAG_RK2_v_2013.pdf
    Дата14.12.2017
    Размер175.8 Kb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаAG_RK2_v_2013.pdf
    ТипПрограмма для подготовки
    #7464

    Программа для подготовки к рубежному контролю № 2
    по аналитической геометрии
    ИУ (кроме ИУ-9), РЛ, БМТ; 2013-2014 уч. год
    Теоретические вопросы
    (как они сформулированы в билетах рубежного контроля)
    Часть А
    1. Дать определение единичной, нулевой, верхней треугольной и нижней тре- угольной матрицы.
    2. Дать определение равенства матриц.
    3. Дать определение суммы матриц и произведения матрицы на число.
    4. Дать определение операции транспонирования матриц.
    5. Дать определение операции умножения матриц.
    6. Сформулировать свойства ассоциативности умножения матриц и дистри- бутивности умножения относительно сложения.
    7. Привести пример, показывающий, что умножение матриц некоммутативно.
    8. Дать определение обратной матрицы.
    9. Записать формулы для нахождения обратной матрицы к произведению двух обратимых матриц и для транспонированной матрицы.
    10. Сформулировать критерий существования обратной матрицы.
    11. Дать определение присоединённой матрицы и записать формулу для вы- числения обратной матрицы.
    12. Перечислить элементарные преобразования матриц.
    13. Записать формулы Крамера для решения системы линейных уравнений с обратимой матрицей.

    14. Дать определение минора. Какие миноры называются окаймляющими для данного минора матрицы?
    15. Дать определение базисного минора и ранга матрицы.
    16. Сформулировать теорему о базисном миноре.
    17. Сформулировать теорему об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях матрицы.

    18. Перечислить различные формы записи системы линейных алгебраиче- ских уравнений (СЛАУ). Какая СЛАУ называется совместной?
    19. Дать определение однородной и неоднородной СЛАУ.
    20. Сформулировать критерий Кронекра-Капелли совместности СЛАУ.
    21. Сформулировать теорему о свойствах решений однородной СЛАУ.
    22. Дать определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной
    СЛАУ.
    23. Сформулировать теорему о существовании ФСР однородной СЛАУ.
    1 24. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ.
    25. Сформулировать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.
    Часть Б
    1. Доказать свойства ассоциативности и дистрибутивности умножения мат- риц.
    2. Доказать критерий существования обратной матрицы.
    3. Вывести формулы Крамера для решения системы линейных уравнений с обратимой матрицей.
    4. Доказать теорему о базисном миноре.
    5. Доказать критерий Кронекера-Капелли совместности СЛАУ.
    6. Доказать теорему о существовании ФСР однородной СЛАУ.
    7. Доказать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ.
    8. Доказать теорему о связи решений неоднородной и соответствующей одно- родной СЛАУ и теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.
    Примеры задач
    Часть А
    1. Вычислить AB − BA, если A =
    11 15
    −6 −8
    , B = −
    8
    −15 6
    11 2. Найти ранг и какой-нибудь базисный минор матрицы A:
    а) A =


    1
    −1 3
    −2 4
    −4 4
    0 5
    −5 −1 6

     ; б) A =




    1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7



     .
    3. Решить матричное уравнение а) X
    3 2
    5 4
    =
    −1 2
    −5 6
    ;
    б)
    3
    −1 5
    −2
    X =
    5 6 7 8 4. Найти обратную матрицу к матрице A =


    3 2 1 1
    3 2 2
    1 3

    .
    5. Найти ФСР однородной СЛАУ
    2x
    1
    + 3x
    2
    − 3x
    3
    + x
    4
    = 0 4x
    1
    + 5x
    2
    + x
    3
    + 2x
    4
    = 0.
    2

    6. Найти общее решение неоднородной СЛАУ





    2x
    2
    − x
    3
    = 1
    −2x
    1
    + 3x
    3
    = 1
    x
    1
    − 3x
    3
    =
    −2.
    Часть Б
    1. Найти матрицу, обратную к матрице A размера 503 × 503, если
    A =






    5 4
    4
    · · · 4 4
    5 4
    · · · 4 4
    4 5
    · · · 4 4
    4 4
    · · · 5






    2. Показать, что система векторов e
    1
    = (1,
    −1, 2, −2)
    T
    и e
    2
    = (2, 1,
    −2, −1)
    T
    образует ФСР однородной СЛАУ









    2x
    1
    + x
    3
    + 2x
    4
    = 0
    x
    1
    + x
    2
    + x
    3
    + x
    4
    = 0
    x
    1
    − 3x
    2
    − x
    3
    + x
    4
    = 0
    x
    1
    − x
    2
    + x
    4
    = 0.
    Выразить через эту ФСР частное решение x
    0
    = (
    −1, −8, 16, −7)
    T
    3. Найти ФСР и общее решение однородной СЛАУ









    x
    1
    + 2x
    2
    + 7x
    3
    − x
    4
    − 9x
    5
    = 0 4x
    1
    + x
    2
    + 5x
    3
    − x
    4
    − 4x
    5
    = 0 7x
    1
    + 3x
    3
    − x
    4
    + x
    5
    = 0
    −3x
    1
    + x
    2
    + 2x
    3
    − 5x
    5
    = 0.
    4. Общее решение некоторой СЛАУ имеет вид
    (
    −1 + c
    1
    + 2c
    2
    ,
    −3 + c
    1
    + 2c
    2
    , c
    1
    + c
    2
    , c
    1
    − 2c
    2
    )
    T
    Какое наименьшее число уравнений может иметь такая СЛАУ? Привести пример системы с таким решением.
    3
    Примерный вариант билета РК2
    Часть А
    необходимо сделать по крайней мере 5 пунктов, из них не менее 3 задач;
    оценка 16 баллов
    Теория
    1. Дать определение обратной матрицы.
    2. Записать формулы Крамера для решения СЛАУ.
    3. Сформулировать теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ.
    Задачи
    4. Вычислить A
    2
    , если
    A =


    1 6
    12
    −4 −13 −24 2
    6 11

     .
    5. Решить матричное уравнение
    2
    −7
    −1 4
    X =
    1 2
    3 4
    6. Найти ФСР однородной СЛАУ
    2x
    1
    − x
    2
    + 2x
    3
    − x
    4
    = 0
    −x
    1
    + x
    2
    − x
    3
    + x
    4
    = 0.
    7. Найти общее решение СЛАУ
    3x
    1
    + 2x
    2
    + x
    3
    = 0 3x
    1
    + 7x
    2
    + 2x
    3
    =
    −2.
    Часть Б
    засчитывается, только если выполнена часть А; необходимо решить по крайней мере одну задачу; оценка 4–12 баллов
    Теория
    8. Доказать теорему о существовании ФСР.
    Задачи
    9. Найти общее решение СЛАУ









    x
    1
    + x
    2
    + 2x
    3
    + 2x
    4
    = 10
    x
    1
    + 3x
    2
    + 2x
    3
    + 6x
    4
    = 20
    x
    1
    − x
    2
    + 2x
    3
    − 2x
    4
    = 0
    x
    1
    − 3x
    2
    + 2x
    3
    − 6x
    4
    =
    −10.
    10. Найти ранг матрицы A в зависи- мости от параметра λ, если
    A =


    1 2
    1 2 3
    −3 2 λ 2 7 3
    2 3
    2 1

     .
    написать администратору сайта