Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Начальные классы
Биология
Информатика
Дошкольное образование
Медицина
Сельское хозяйство
Ветеринария
Воспитательная работа
История
Вычислительная техника
Логика
Этика
Философия
Религия
Физика
Русский язык и литература
Социология
Политология
Языкознание
Языки
Юриспруденция
Право
Другое
Иностранные языки
образование
Доп
Технология
Строительство
Физкультура
Энергетика
Промышленность
Автоматика
Электротехника
Классному руководителю
Связь
Химия
География
Логопедия
Геология
Искусство
Культура
ИЗО, МХК
Экология
Школьному психологу
Обществознание
Директору, завучу
Казахский язык и лит
ОБЖ
Социальному педагогу
Языки народов РФ
Музыка
Механика
Украинский язык
Астрономия
Психология

Контрольная работа № 1 вариант 2. Решение Составим определитель матрицы из координат векторов,, и вычислим его


Скачать 309.09 Kb.
НазваниеРешение Составим определитель матрицы из координат векторов,, и вычислим его
АнкорКонтрольная работа № 1 вариант 2.docx
Дата12.12.2017
Размер309.09 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаКонтрольная работа № 1 вариант 2.docx
ТипРешение
#6908
КатегорияМатематика

Контрольная работа №1

№2

Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение

Составим определитель матрицы из координат векторов , ,

и вычислим его:



Так как Δ≠0, то векторы , , линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты α, β и γ вектора в этом базисе:



Получим систему уравнений



Решим систему методом Гаусса:



Полученная матрица эквивалента системе



γ=

β=

α=

Таким образом,
Ответ:
№12

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; Сделать чертеж.

А1 (3,3,9) А2 (6,9,1) А3 (1,7,3) А4 (8,5,8)

Решение

1) Найдем длину ребра А1А2 по формуле





2) Косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4:

,

=(x2–x1; y2–y1; z2–z1)=(6-3;9-3;1-9)=(3;6;-8),

=(x4–x1; y4–y1; z4–z1)= (8-3;5-3;8-9)=(5;2;-1)





3) ) Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3:

, где направляющий вектор прямой, – нормальный вектор к плоскости.

(5;2;-1)



=(x3–x1; y3–y1; z3–z1)=(1-3;7-3;3-9)=(-2;4;-6),



=(-4;34;24)




4) Найдем площадь грани А1А2А3

S=

S= ед2

5) Объем пирамиды найдем по формуле

V=

V=ед3

6) Каноническое уравнение прямой А1А2







7) Найдем уравнение плоскости А1А2А3

,

где (А,В,С)–нормальный вектор к плоскости А1А2А3,

А1(x1,y1,z1)– координаты точки, через которую проходит плоскость.

Получим

-4(x-3)+34(y-3)+24(z-9)=0

2x-17y-12z+153=0 –общее уравнение плоскости А1А2А3
8) Найдем уравнение высоты, опущенной из точки А4, на грань А1А2А3 по формуле

,

так как нормальный вектор (А,В,С) к плоскости А1А2А3 является направляющим вектором высоты. Получим



– каноническое уравнение прямой.

Сделаем чертеж:

1
Ответ: 1)А1А2=





4) S= ед2

5) V=4ед3

6)

7) 2х-17y-12z+153=0

8)
№22

Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(3,0), чем от оси ординат.

Решение

Пусть М(x,y)– произвольная точка искомой кривой. Сделаем чертеж:

2

Тогда

АМ=

МК=

По условию АМ=2МК

Тогда составим уравнение:



Откуда







Приведем уравнение линии к каноническому виду





–каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (-1;0) и полуосями a=2, b=
Ответ:


№32

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.



Решение

Составим расширенную матрицу системы уравнений и преобразуем ее к треугольному виду

=> =3

Так как rang A=rang=3 и n=3 (число неизвестных), то система уравнений совместна и имеет единственное решение.

  1. Решим систему методом Гаусса. Полученная матрица эквивалентна следующей системе уравнений:

, откуда

x3=0

x2=

x1=

  1. Решим систему уравнений средствами матричного исчисления. Данная система эквивалентна матричному уравнению AX=B , откуда Х=,

где А=, Х=, В=

А-1– матрица, обратная матрице к А

, где Аij – алгебраические дополнения к элементам матрицы А.



А11=

А12=

А13=

А21=

А22=

А23=

А31=

А32=

А33=



Х=,

откуда х1=3, х2=-1, х3=0

Ответ: х1=3, х2=-1, х3=0

№42

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений



Решение

Найдем ранг матрицы системы уравнений при помощи элементарных преобразований:

=> rA=2

Значит, система имеет ненулевые решения, размерность пространства которых равна n-r=4-2=2, где n - число неизвестных.

Полученная матрица эквивалента следующей системе

,

откуда





- общее решение системы.
Представим его в матричном виде

X=, где х3 и х4.

Вектор-столбцы и образуют базис пространства решений системы.

Обозначим х31 , х42, где С1 иС2 –произвольные постоянные. Тогда решение системы в векторном виде примет вид



Ответ: n-r=2 – размерность пространства решений,

, – базис пространства решений.
№52

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.



Решение

Составим характеристическое уравнение матрицы :









λ1=4, λ23=-1 – собственные значения матрицы А

Найдем собственные векторы, соответствующие данным собственным значениям, из системы



При λ1=4 получим

=> x1=0, x2=0

при х3=1, получим собственный вектор =(0;0;1)Т

При λ12=-1 получим



при х2=5, получим собственные векторы ==(5;5;-8)Т

Ответ: λ1=4, λ23=-1 – собственные значения,

=(0;0;1)Т==(5;5;-8)Т( с точностью до постоянного множителя) – собственные векторы.
№62

Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.



Решение

Матрица данной квадратичной формы имеет вид:

А=

Решим характеристическое уравнение:





(4-λ) (3-λ)-6=0



λ1=1, λ2=6 – собственные значения матрицы А.

Найдем собственные векторы из системы


При λ1=1 получим

=> x2=x1

При x1= 2



При λ2=6 получим

=> x1=x2

При x2= 2 получим


Нормируем собственные векторы:






Составим матрицу перехода от старого базиса к новому:

T=

Выполняя преобразование

, получим

x=

y=

Подставив данные формулы в исходное уравнение кривой, получим:



Получим


Приведем уравнение к каноническому виду

– каноническое уравнение эллипса с полуосями а=, b=2.

Ответ:
написать администратору сайта