Главная страница
Финансы
Экономика
Математика
Начальные классы
Информатика
Биология
Медицина
Сельское хозяйство
Ветеринария
Вычислительная техника
Дошкольное образование
Логика
Этика
Религия
Философия
Воспитательная работа
История
Физика
Политология
Социология
Языкознание
Языки
Право
Юриспруденция
Русский язык и литература
Строительство
Промышленность
Энергетика
Другое
Доп
образование
Связь
Электротехника
Автоматика
Физкультура
Технология
Классному руководителю
Химия
Геология
Иностранные языки
Логопедия
Искусство
Экология
Культура
География
ИЗО, МХК
Казахский язык и лит
Директору, завучу
Школьному психологу
Обществознание
Социальному педагогу
Языки народов РФ
ОБЖ
Музыка
Механика
Украинский язык
Астрономия
Психология

Методический материал по теме "Теория вероятностей". Теория вероятностей


Скачать 0.67 Mb.
НазваниеТеория вероятностей
АнкорМетодический материал по теме "Теория вероятностей"
Дата17.09.2017
Размер0.67 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаМетодический материал по теме "Теория вероятностей".doc
ТипРешение
#32844
КатегорияМатематика






ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИ КИ

В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.

Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».




ПРИЁМЫ РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ


  • Решение методом перебора;

  • Решение с помощью дерева возможных вариантов;

  • Решение с помощью комбинаторного правила умножения;

  • Решение с помощью таблиц;

  • Решение с помощью графов.


Примеры решения задач.
- Перебор возможных вариантов.

1. У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Решение: для краткости будем писать первые буквы имен.

Составим сначала все пары, в которые входит Вера: ВЗ, ВМ, ВП, ВС. Получим 4 пары.

Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера.

ЗМ, ЗП, ЗС. Таких 3 пары.

Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя.МП, МС. Их две.Далее составим пары, в которые входит Полина. ПС. Еще одна пара.

Всего существует 4+3+2+1=10 Ответ:10 вариантов.

Для самостоятельного решения.
2. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?
- Дерево возможных вариантов.

3. Составить трехзначные числа из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись.

число

сотни 1 4 7

десятки 4 7 1 7 1 4

единицы 7 4 7 1 4 1
Ответ: числа 147;174;417;471;714;741 6 чисел (вариантов).

- Комбинаторное правило умножения

Ответ на вопрос предыдущей задачи можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.

Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению

3 · 2 · 1 = 6

КОМБИНАТОРНОЕ ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ:
Если объект Аможно выбрать mспособами, а другой объект Вможно выбрать kспособами, то объект «А и В» можно выбрать mkспособами




Для самостоятельного решения.
4. В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет?

5. У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
6. Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать?
- Задачи, решаемые с помощью таблиц

7. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?

десятки/единицы

0

2

4

1

10

12

14

2

20

22

24

4

40

42

44

5

50

52

54

9

90

92

94

5·3 = 15

Ответ:15 чисел



Для самостоятельного решения.
8. У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.
- Задачи, решаемые с помощью графов

ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или ребра.




9. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?






Ответ: 10 рукопожатий



Для самостоятельного решения.
10. Решите задачу, используя граф. Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?


Для домашнего решения.
1. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг?
2. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить?
3. Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика?
4. На завтрак Катя может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить она их может кофе, соком или кефиром. Сколько вариантов завтрака есть у Кати?
5. «Этот вечер свободный можно так провести…»: пойти погулять к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вове или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, а потом поиграть с братом, или разобраться, наконец, у себя на письменном столе. Нарисовать дерево возможных вариантов.




ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ КОМБИНАТОРИКИ:



  • учебные заведения (составление расписаний);

  • сфера общественного питания (составление меню);

  • география (раскраска карт);

  • спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками);

  • агротехника (размещение посевов на нескольких полях);

  • азартные игры (подсчёт частоты выигрышей);

  • биология (расшифровка кода ДНК);

  • военное дело (расположение подразделений);

  • астрология (анализ расположения планет и созвездий);

  • экономика (анализ вариантов купли-продажи акций);

  • доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки).






СЛУЧАЙ ИМЕЕТ СВОИ ЗАКОНЫ!!!

Случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений.

Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.



«Теория вероятностей есть,

в сущности, не что иное, как

здравый смысл, сведённой

к исчислению»

Лаплас.

Теория вероятности – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.




ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов m к числу всех возможных исходов n.




АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

НА НАХОЖДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

1. Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т. п.)

2. Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что …» и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.

3. Определить, что в задаче является исходом и сколько их.

4. Определить, какие исходы являются успешными. Найти количество успешных исходов.

5. Найти вероятность – делим количество успехов на количество всех возможных исходов. При этом не ошибаемся в арифметике и записываем ответ десятичной дробью.



Решить задачи:

1. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады

Количество всех событий группы: n = ?

Соответствует количеству всех гимнасток n = 50

Количество благоприятных событий: m = ?

Соответствует количеству гимнасток из Канады m = 50 - (24+13) = 13


Ответ: вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады, равна 0,26.
2. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
3. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
5. В магазине оптики при покупке фотоаппарата в качестве подарка к нему дарится чехол, который случайным образом выбирается из ящика. В ящике находятся чехлы разного цвета: 12 - черных, 15 – бежевых, 17 красных и 16 – в клеточку. Найдите вероятность того, что покупатель вынет из этого ящика черный чехол.
6. Елочная гирлянда состоит из 10 желтых, 15 зеленых, 20 красных и 5 синих лампочек. Каждая лампочка перегорает с одинаковой частотой. Для их смены необходимо закупить запасные. Найдите вероятность того, что в какой-то момент времени перегорит красная лампочка.
7. В барабане лотереи шары с номерами от 1 до 16. Какова вероятность того, что номер случайно выбранного шара будит делиться на 4?



СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной.

Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали.

Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадёт брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течении ближайшего часа позвонить по телефону.

Такие непредсказуемые явления называются случайными.






ТИПЫ СОБЫТИЙ:

  • НЕВОЗМОЖНОЕ событие – это такое событие, которое не может произойти в результате данного испытания.



Примеры: наступило 30 февраля, из 10 девочек выбрать мальчика, при бросании кубика выпадет 7 очков.


  • ДОСТОВЕРНОЕ событие – это такое событие, которое обязательно произойдёт в результате данного испытания.



Примеры: после ночи наступает день, при нагревании температура воды повышается, из урны с 5 белыми шарами вынуть белый шар.


  • СЛУЧАЙНОЕ событие - это такое событие, которое может произойти или не может произойти в результате данного испытания.



Примеры: при броске кубика выпало 2 очка, на вызов приехало жёлтое такси, в расписании уроков математика стоит пятым уроком, в доме на первом этаже находится магазин.
ЧАСТОТА

Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний.



m – число испытаний с благоприятным исходом,

n – число всех испытаний.



Выполнить задание:

Определить каким – случайным, достоверным или невозможным – является событие?

а) В результате броска двух игральных костей сумма выпавших очков равна 9.

б) Подкинули монету, и она упала на «орла».

в) Наугад названное натуральное число оказалось положительным.

г) Из двух учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля.

д) Слово начинается с буквы «К».

ФАКТОРИАЛ

- это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n!

n! = 1 · 2 · 3 ·…· ( n - 1) · n

Таблица факториалов:

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n!

1

1

2

6

24

120

720

5040

40320

362880

3628800



Вычислить с помощью таблицы факториалов: 3! 5!



ПЕРЕСТАНОВКИ

Обозначение: 

Перестановкой называется множество, в котором установлен порядок элементов.





Решить задачи:
1. Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем?

P5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120

Ответ: 120 способов.

2. В 6 классе в среду 6 уроков: математика, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить?
3. Весной мама покупает ребенку много фруктов. Она купила банан, яблоко, апельсин, лимон, грушу и киви. Найдите число возможных вариантов съедания фруктов.
4. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «эскиз»?
5. Сколько перестановок можно получить из букв, составляющих слово «апельсин».



6. Вычислить: а) б) в) г)



7. Решить уравнение:

РАЗМЕЩЕНИЯ

Обозначение: 

Размещением из n элементов множества по k элементов называется упорядоченное множество из k элементов.





Решить задачи:

1. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?



Ответ: 840 способов.
2. Борис идёт на день рождения к близнецам Алексею и Ивану. Он хочет подарить каждому из них по музыкальному диску. В магазине осталось для продажи только 13 различных дисков любимых исполнителей братьев. Сколькими способами, купив 2 диска, Борис может сделать подарки?
3. У Минотавра в лабиринте томятся 25 пленников. Сколькими способами он может выбрать себе трёх из них на завтрак, обед и ужин?
4. В конкурсе участвуют 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?
5. Завучу школы из 8 предметов: алгебра, геометрия, информатика, физика, химия, ОБЖ, литература, физическая культура необходимо составить расписание на один день из 5 уроков. Сколькими способами можно это сделать?
6. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовить три различные детали по одной на каждого?

7. Партия состоит из 25 человек. Требуется выбрать председателя, заместителя, секретаря и казначея. Сколькими способами можно это сделать, если каждый член партии может занимать лишь один пост?
8. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, стал набирать их наудачу. Сколько вариантов ему надо перебрать, чтобы набрать нужный номер?

СОЧЕТАНИЯ

Обозначение: 

Подмножества из k элементов, составленные из n элементов данного множества, называют Сочетаниями из n элементов по k.

Сочетания различаются только элементами, порядок элементов не важен.





Решить задачи:

1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?




Ответ: 21 способ.

2. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
3. Из отряда 15 человек назначают двух караульных. Сколькими способами может быть составлен караул?
4. У Минотавра в лабиринте томятся 25 пленников. Сколько существует способов, чтобы отпустить трёх пленников на свободу?
5. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно из них выбрать 4 учащихся для дежурства?
6. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 6 цветов?





Что такое статистика?

  • Статистика(от лат. status – состояние) – наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях жизни.



  • Математическая статистика– наука о математических методах систематизации, обработки и использовании статистических данных для научных и практических выводов.

Описательная статистика занимается

- первичной обработкой информации;

- вычислением наиболее показательных числовых характеристик.

Сферы применения статистики:





Элементы статистики.


  • Выборки – это ряды чисел.




  • Различные значения случайной величины называются

вариантами.


  • Вариационный ряд - ряд, расположенный в порядке

возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им

частотами.
Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.
Пример: Найти среднее арифметическое ряда чисел
5, 2, 4, 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5.

Решение:



Медианой числового ряда называется то значение случайной величины, которое приходится на середину числового ряда

Пример 1: Медиана данного ряда: 2,3,3,4,4,5,5 Me = 4

Пример 2: Найти медиану ряда чисел: 5,2,4,5,5,4,4,5,5,5.

Решение: Упорядочим ряд чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5.


Ответ: медиана равна 5.
Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в вариационном ряду.
Примеры: а) 3,2,4,5,3,2,4,4 Мо = 4

б) 4, 2, 3, 5 Мо – нет

в) 4, 4, 3, 5, 2, 3 Мо = 3;4

Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений вариационного ряда.

Пример: Даны числа 1,5,3,4,2. Найти размах данного ряда.

Решение: Упорядочим 1,2,3,4,5, тогда размах равен 5 – 1 = 4

Ответ: размах равен 4.



Работа в классе:

Для данного ряда чисел 5,2; 5,4; 5,3; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3

Найдите: - среднее арифметическое,

- медиану,

- моду,

- размах.



Самостоятельная работа.
1. Определите среднее арифметическое, моду, медиану и размах ряда чисел: 6, 11, 7, 11, -2.
2. Определите среднее арифметическое, моду, медиану и размах ряда чисел: 15, 5, 13, -4, 15.



Статистика в тестах ГИА:

1. Курс доллара в течение недели: 30,48; 30,33; 30,45; 30,28; 30,37; 30,29; 30,34. Найдите медиану этого ряда.
2. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 149, 175, 137, 127, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
3. В течение четверти Ира получила следующие отметки по математике: три « двойки», две «тройки», десять « четверок» и пять « пятерок». Найдите сумму среднего арифметического и медианы ее оценок.



Домашнее задание:
1.Из тридцати одиннадцатиклассников четверо выбрали экзамен по физике, двенадцать – по обществознанию, восемь – по иностранному языку, а остальные по литературе. Какова вероятность, что выбранный ученик будет сдавать экзамен по литературе?
2.Записана высота (в см) пяти саженцев-трехлеток яблони сорта «Антоновка»: 147, 140, 136, 153, 134. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?
3. Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоеме и получает следующий ряд значений: 12,8; 13,1; 12,7; 13,2; 12,7; 13,3; 12,6; 12,9; 12,7; 13; 12,7. Найдите моду и медиану этого ряда.

написать администратору сайта