Главная страница
Навигация по странице:

  • Точные методы решения

  • ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

  • Аппроксимация

  • Явные и неявные разностные схемы

  • Лекция 4. Vii. Дифференциальные уравнения в частных производных лекция методы решения дифференциальных уравнений в частных производных


    Скачать 253.5 Kb.
    НазваниеVii. Дифференциальные уравнения в частных производных лекция методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
    АнкорЛекция 4.doc
    Дата31.01.2018
    Размер253.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛекция 4.doc
    ТипЛекция
    #12145

    Раздел VII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

    Лекция 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
    Задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если же число частиц очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, давлением, скоростью, температурой энтропией в данной точке и т.д.

    Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. Например, изменение температуры в неподвижном теле описывается уравнением теплопроводности

    (25.1)

    где u – температура, с – теплоемкость, к - коэффициент теплопроводности и q – плотность источника тепла.

    К уравнениям в частных производных приводят задачи газовой динамики, гидродинамики, теории колебаний, теплопроводности, диффузии, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процессов переноса в газах, квантовой механики и многие другие.

    Независимыми переменными в физических задачах обычно являются время tи координаты r; бывают и другие переменные, например, скорости частиц в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых переменных Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальное уравнение, а также дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение среди семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия обычно задаются на границе области G.

    Если одной из переменных является время t, то чаще всего рассматривают области вида



    т.е. решение ищут в некоторой пространственной области Q(r,…) на отрезке времени В этом случае дополнительные условия, заданные при t = t0, называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе Г(r) области Q(r,…) – граничными или краевыми.

    Задачу, у которой имеются только начальные условия, называют задачей Коши. Например, для уравнения теплопроводности (25.1) в неограниченном пространстве можно поставить задачу с начальными условиями

    .

    Если - кусочно-непрерывная, ограниченная функция, то решение задачи Коши единственно в классе ограниченных функций (при некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения).

    Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной задачей, или нестационарной краевой задачей. Для уравнения теплопроводности (25.1) дополнительные условия такой задачи могут иметь, например, вид

    ,

    Для этого уравнения допустимы и другие граничные условия, например, содержащие нормальную производную решения.

    При исследовании установившихся состояний или стационарных (не зависящих от времени) процессов в сплошной среде формулируются математические задачи не зависящие от времени. Их решение ищется в области Q(r,…), а дополнительные условия являются граничными. Такие задачи называются краевыми или задачами Дирихле.

    Мы ограничимся рассмотрением корректно поставленных задач, когда для некоторого класса начальных и граничных данных решение (в заданном классе функций) существует, единственно и непрерывно зависит от этих данных. Будем также предполагать, что решение непрерывно зависит от всех коэффициентов уравнения.

    Для уравнений в частных производных существуют и некорректно поставленные задачи. Например, обратные задачи теплопроводности, задачи на развитие неустойчивости и др.

    Многие физические процессы приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка от двух независимых переменных.

    Дадим классификацию таких уравнений в частных производных. Они имеют следующий вид

    . (25.2)

    Коэффициенты уравнения (25.2), вообще говоря, зависят от x, y. Если коэффициенты не зависят от переменных x, y, то это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты А, В, С, D, E, F, G зависят от x, y, то это линейное уравнение с переменными коэффициентами. Если коэффициенты А, В, С зависят от ux или от uy, или просто отu, то уравнение (25.2) называется квазилинейным. Если коэффициенты А, В, С, зависят от uxх или от uyу, то уравнение (25.2) называется нелинейным. Если коэффициенты D, E, F зависят от u то уравнение (25.2) называется квазилинейным, линейным относительно старших производных. Если А = В = С = 0, но и , то уравнение (25.2) имеет первый порядок и называется уравнением переноса. Если коэффициент G = 0, то уравнение (25.2) называется однородным.

    Уравнения второго порядка классифицируются по знаку дискриминанта У гиперболических уравнений дискриминант положителен, у параболических – равен нулю, у эллиптических – отрицателен. Те физические процессы, которые описываются разными перечисленными здесь типами уравнений, существенно отличаются друг от друга.

    1. Гиперболическими уравнениями описываются колебательные процессы.

    2. Параболическими уравнгениями описываются процессы теплопроводности и диффузии.

    3. Эллиптическими уравнениями описываются установившиеся процессы.

    Методы решения дифференциальных уравнений также подразделяются на три метода: точные, приближённые и численные.

    Точные методы решения

    В курсах уравнений математической физики изложен ряд методов, позволяющих для некоторых классов задач найти точное решение. К таким методам относятся метод распространяющихся волн, метод разделения переменных, метод функций источника и другие.

    Например, для задачи теплопроводности

    (25.3)

    где функция кусочно-непрерывна, методом разделения переменных Фурье решение представляется в виде ряда . (25.4)

    где величины являются коэффициентами Фурье начальных данных

    . (25.5)

    Таким образом, получено явное выражение решения через начальные данные.

    Подставляя коэффициенты (25.5) в решение (25.4) и меняя порядок интегрирования и суммирования, выразим решение (25.4) через начальные данные и функцию источника

    , (25.6)

    где функция источника равна



    Для задачи Коши на бесконечной прямой выражение для функции источника имеет следующий вид



    Точные методы позволяют получить явное выражение решения через начальные данные, что облегчает дальнейшие действия с решением. Например, выражения (25.4) – (25.6) позволяют многое сказать о качественном поведении решения .

    В самом деле, в формуле (25.4) пространственные гармоники sin множатся на величины затухающие при возрастании времени; это затухание тем быстрей, чем больше номер гармоники. Но чем меньше амплитуды высоких гармоник, тем более плавно меняется функция. Следовательно, с течением времени решение задачи (25.3) должно сглаживаться.

    Наоборот, при движении в обратную сторону по времени амплитуды высоких гармоник возрастают тем быстрей, чем больше n: при скорость роста гармоник неограниченно увеличивается. Отсюда получается, что обратная задача теплопроводности неустойчива.

    Таким образом, точные методы очень полезны. Однако они применимы в основном к линейным задачам в областях простой формы (прямоугольник, круг и т.п.), когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны относительно u(r, t) и ее производных. При этом выкладки удается довести до конца обычно лишь для уравнений с постоянными или кусочно-постоянными коэффициентами. Основными же методами решения уравнений и систем в частных производных являются численные методы.

    ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

    Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида или даже линейные задачи, но в областях сложной формы, редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди них чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории.

    Для применения разностного метода в области изменения переменных G(r,t) вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции u(r,t) в узлах сетки. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой. Решая полученную алгебраическую систему, находят приближенное (разностное) решение в узлах сетки.

    Как и с обыкновенными дифференцированными уравнениями здесь также возникают вопросы: существует ли решение алгебраической системы и единственно ли оно, как это решение фактически вычислить (за возможно меньшее число действий), при каких условиях это разностное решение стремится к точному и какова скорость сходимости? Есть еще два вопроса, которые для обыкновенных дифференциальных уравнений были несложными: как выбрать сетку и как составить разностную схему на этой сетке?

    Пример. Составим разностные схемы для одномерной задачи линейной теплопроводности на ограниченном отрезке

    6.1а) 6.1b)

    Решение ищется в области



    Введем в G прямоугольную сетку (для простоты равномерную), образованную пересечением линий и величины являются шагами сетки по переменным x, t (рис. 26.1), значения функции в узлах сетки будем обозначать



    Возьмем около узла (xn, tm) конфигурацию узлов, изображенную на рис. 26.1а. Заменим в уравнении (26.1а) производную ut разностным отношением а производную uxx – тоже разностным отношением



    Тогда дифференциальное уравнение приближенно заменится (аппроксимируется) разностной схемой (напомним, что разностной схеме удовлетворяет разностное решение, которое обозначается

    (26.2)

    Число уравнений (26.2) меньше числа неизвестных недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных условий (26.1b)

    (26.3)

    Определение. Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют шаблоном.

    Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем. Например, если для задачи (26.1) выбрать изображенный на рис. 26.1b шаблон, то вместо (26.2) получим другую схему (26.4)

    (26.4)

    Начальные и граничные условия для этой схемы можно записать в той же форме (26.3).

    Аппроксимация

    Сетка и шаблон. Для большинства разностных схем узлы сетки лежат на пересечении некоторых прямых линий (в многомерных задачах – гиперплоскостей), проведенных либо в естественной системе координат, либо в специально подобранной по форме области G.

    Если одна из переменных имеет физический смысл времени t, то сетку обычно строят так, чтобы среди ее линий (или гиперплоскостей) были линии t= tm. Совокупность узлов сетки, лежащих на такой линии или гиперплоскости, называют слоем.

    На каждом слое выделяют направления, вдоль которых меняется только одна пространственная координата. Например, для переменных x, y, t есть направления x(t= const, y = const) и направление y(t = const, х = const).

    Составляя разностные схемы (26.2) и (26.4), мы использовали во всех внутренних узлах области однотипную разностную аппроксимацию производных. Иными словами, при написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки бралось одно и то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию, которую мы назвали шаблоном данной разностной схемы (см. рис. 26.2).

    Определение. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а остальные – нерегулярными.

    Нерегулярными являются обычно граничные узлы, а иногда также лежащие вблизи границы узлы (такие, что взятый около этого узла шаблон выходит за границу области).

    Составление разностной схемы начинается с выбора шаблона. Шаблон не всегда определяет разностную схему однозначно, но существенно влияет на ее свойства; например, далее мы увидим, что на шаблоне рис. 26.2b нельзя составить хорошей разностной схемы для задачи теплопроводности (26.1). Для каждого типа уравнений и краевых задач требуется свой шаблон.

    Явные и неявные разностные схемы

    Обсудим вопрос о фактическом вычислении разностного решения. Большая часть физических проблем приводит к уравнениям, содержащим время в качестве одной из переменных. Для таких уравнений ставится обычно смешанная краевая задача, типичным случаем которой является задача теплопроводности (26.1).

    К подобным задачам применяют послойный алгоритм вычислений. Рассмотрим его на примере схем (26.2) и (26.4).

    В схеме (26.4) на исходном слое m = 0 решение известно в силу начального условия. Положим m = 0 в уравнениях (26.4). Тогда при каждом значении индекса n уравнение содержит одно неизвестное ; отсюда можно определить при Значения и определяются по краевым условиям (26.3). Таким образом, значения на первом слое вычислены. По ним аналогичным образом вычисляется решение на втором слое и т.д.

    Схема (26.4) в каждом уравнении содержит только одно значение функции на следующем слое; это значение нетрудно явно выразить через известные значения функции на исходном слое, поэтому такие схемы называются явными.

    Схема (26.2) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными. Для фактического вычисления решения перепишем схему (26.2) с учетом краевого условия (26.3) в следующей форме

    (26.5)



    На каждом слое схема (26.5) представляет собой систему линейных уравнений для определения величин ; правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя. Матрица линейной системы трехдиагональная, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой.

    Рассмотренный сейчас алгоритм достаточно типичен. Он используется во многих неявных разностных схемах для одномерных и многомерных задач. Дальше мы будем вместо индекса m часто применять сокращенные обозначения



    В этих обозначениях явная и неявная разностные схемы принимают соответственно следующий вид



    Невязка. Рассмотрим операторное дифференциальное уравнение общего вида (не обязательно линейное)

    Au = f, или Auf = 0.

    Заменяя оператор А разностным оператором Ah, правую часть f – некоторой сеточной функцией , а точное решение u – разностным решением y, запишем разностную схему

    или . (26.6)

    Если подставить точное решение u в соотношение (26.6), то решение, вообще говоря, не будет удовлетворять этому соотношению . Величину



    называют невязкой.

    Невязку обычно оценивают при помощи разложения в ряд Тейлора. Например, найдем невязку явной разностной схемы (26.4) для уравнения теплопроводности (26.1а). Запишем это уравнение в каноническом виде



    Поскольку в данном случае то



    Разложим решение по формуле Тейлора около узла (xn, tm), предполагая существование непрерывных четвертых производных по х и вторых по t

    (26.7)

    где

    Подставляя эти разложения в выражение невязки и пренебрегая, в силу непрерывности производных, отличием величин от (xn, tm)найдем

    (26.8)

    Таким образом, невязка (26.8) стремится к нулю при и Близость разностной схемы к исходной задаче определяется по величине невязки. Если невязка стремится к нулю при h и стремящихся к нулю, то говорят что такая разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу. Аппроксимация имеет р-й порядок, если .

    Выражение (26.8) дает невязку только в регулярных узлах сетки. Сравнивая (26.3) и (26.1б), легко найдем невязку в нерегулярных узлах



    Замечание 1. Решение задачи теплопроводности с постоянным коэффициентом (26.1) в области непрерывно дифференцируемо бесконечное число раз. Однако учет пятых и более производных в разложении в ряд Тейлора (26.7) прибавит к невязке (26.8) только члены более высокого порядка малости по и h, т.е. по существу, не изменит вида невязки.

    Замечание 2. Пусть по каким-либо причинам решение исходной задачи дифференцируемо небольшое число раз; например, в задачах с переменным коэффициентом теплопроводности, гладким, но не имеющим второй производной, решение имеет лишь третьи непрерывные производные. Тогда в разложении в ряд Тейлора (26.7) последними будут члены не точно компенсирующие друг друга. Это приведет к появлению в невязке (26.8) члена типа т.е. невязка будет иметь меньший порядок малости, чем для четырежды непрерывно дифференцируемых решений.

    Замечание 3. Преобразовав выражение невязки с учетом того, что входящая в него функция u(x,t) есть точное решение исходного уравнения и для нее выполняются соотношения



    Подставляя это выражение в (26.8), получим



    Если выбрать шаги по пространству и времени так, чтобы то главный член невязки обратится в нуль и останутся только члены более высокого порядка малости по и h (которые мы опускали). Этим приемом пользуются при построении разностных схем повышенной точности.





    написать администратору сайта